Ueber die Weiler'sche Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. (Q1557463)

Bereits ein Jahr Veröffentlichung der Jacobi'schen Nova Methodus erschien in Schlömilch's Z. 1863 eine Abhandlung von Herrn Weiler, in welcher eine andere Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung auseinander gesetzt wurde, die weit weniger Integrationen verlangte. Diese Methode war in ihrer ursprünglichen Fassung vollkommen unverständlich geblieben und grade hierdurch für Clebsch die Anregung zu der schönen Arbeit ``Ueber simultane Integration linearer partieller Differentialgleichung'' (Borchardt J. LXV.) geworden, in der er unter Anderem nachwies, dass man in der That auch durch geschickte Modification der Jacobi'schen Methode eine bedeutende Anzahl von Integrationen ersparen kann. Der Weiler'sche Aufsatz war aber hierdurch nicht verständlicher geworden als vorher, und wenn man trotzdem vielleicht hie und da von der Weiler'schen Methode gesprochen hat, so verstand man darunter doch immer nur jenes Verfahren von Clebsch, das im Wesentlichen dieselbe Vereinfachung erzielt und von clebsch selbst in nicht ganz zutreffender Weise als die Weiler'sche Vereinfachung angekündigt worden war. In dem ersten Aufsatze (JFM 07.0212.01)sucht nun Herr Weiler durch eine neue und ausführlichere Bearbeitung das Wesen seiner Methode klarzulegen. Aber auch in dieser neuen Darstellung wird das Verständniss noch ganz ausserordentlich erschwert nicht bloss durch Unklarheiten des Ausdruckes und der Bezeichnung, sondern auch dadurch, dass die Grundlagen der Betrachtung in der Ausdehnung, wie sie der Verfasser benutzt, zum Theil unrichtig sind. Dem Wunsche, diese Mängel zu beseitigen und die Weiler'sche Methode, sowohl ihre interessanten Resultate, als auch namentlich ihren ganz eigenthümlichen Gang, allgemein verständlich darzustellen, ist der zweite Aufsatz entsprungen, zu dem sich der Verfasser überdies noch ganz besonders dadurch veranlasst fühlte, dass seine eigene Methode in, wie es ihm scheint, durchaus unnöthiger Weise von Herrn Weiler in den Kreis seiner Besprechungen hineingezogen wurde. Dieser zweite Aufsatz, dessen Einleitung jene Ungenauigkeiten der Weiler'schen Darstellung näher andeutet, zeigt im \(\S\) 1, in welcher Weise die Weiler'sche Methode zur Integration eines vollständigen Systems von zwei Gleichungen (siehe das vorhergehende Referat) sich ausdehnen lässt auf ein System von beliebig vielen Gleichungen. Auch diese Ausdehnung macht von den algebraischen Bedingungen, welche der Voraussetzung aequivalent sind, dass die gegebenen linearen partiellen Differentialgleichungen die grösstmögliche Anzahl gemeinsamer Lösungen zulassen sollen, keinerlei Gebrauch; sie bedarf vielmehr zur simultanen Integration der Gleichungen nichts weiter als eben jene Voraussetzung. Aber sie lässt sich nicht mehr, wie im Falle zweier Gleichungen, unmittelbar auf jede beliebige Form des vollständigen Systems anwenden, sondern sie muss, wie alle anderen Methoden, das System vorher auf eine zur Integration geeignete Form bringen. Nur ist diese Form nicht die sonst übliche Jacobi'sche, sondern eine andere eigenthümliche Form, welche, durch successive Elimination aus dem gegebenen vollständigen System hervorgehend, die wichtige Eigenschaft besitzt, dass wenn man von einer beliebigen Gleichung des Systems ausgehend, alle vorhergehenden Gleichungen weglässt, die übrig bleibenden immer wieder ein vollständiges System bilden. Im zweiten Paragraphen werden die vollständigen Systeme, auf welche Jacobi die Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung überhaupt zurückgeführt hat, in solche Weiler'sche Systeme transformirt. Die Anwendung der in \(\S\) 1 gewonnenen Methode liefert dass in \(\S\) 3 unmittelbar eine schrittweise vorgehende Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, die an Zahl und Höhe der Integrationen sich nicht von der Jacobi'schen Methode unterscheidet. In Folge einer besonderen Eigenschaft jener Weiler'schen Systeme geht aber schliesslich aus der Combination je zweier aufeinander folgender Schritte die eigentliche Weiler'sche Vereinfachung hervor, durch welche man jene beträchtliche Ersparung an Integrationen erzielt und die dabei doch wesentlich einfacher operirt, als das entsprechende Verfahren von Clebsch. Haben auch neuere Arbeiten (siehe F. d. M. IV. p. 162, JFM 04.0162.02) gelehrt, dass man die anzahl der zur vollständigen Lösung einer gegebenen partiellen Differentialgleichung erforderlichen Integrationen noch weiter herabdrücken kann, so darf man deshalb doch die Methoden von Weiler und von Clebsch nicht unterschätzen. Denn wenn dieselben auch stets mehr Integrationen erfordern, so können diese Integrationen unter Umständen doch recht wohl niedriger ausfallen, als in jenen neueren Methoden. Herr Weiler hat den allgemeinen Fall der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, wo in der gegebenen Gleichung die unbekannte Function selbst auftritt, seinen Untersuchungen zu Grunde gelegt und seine Endresultate sind nicht richtig, weil er fälschlicher Weise den Poisson-Jacobi'schen Satz in wesentlich unveränderter Gestalt auch auf diejenigen Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen ausdehnt, die diesen partiellen Differentialgleichungen entsprechen, ein Fehler, der übrigens auch von Allégret (vgl. diesen Band p. 215, JFM 07.0215.01) gemacht worden ist. Der zweite Aufsatz dagegen betrachtet nur solche partiellen Differentialgleichungen, welche die gesuchte Function selbst nicht enthalten. Dies ist bekanntlich keine Beschränkung, da man den allgemeinen Fall auf diesen einfacheren Fall zurückführen kann. Jacobi hat hierfür zwei verschiedene Regeln gegeben (Crelle J. XXIII. p. 18 und Nova Methodus \(\S\) 1), von denen die letzte lange Zeit für illusorisch gehalten wurde, weil man nicht wusste, wie man von einer Lösung der transformirten Gleichung zu einer Lösung der ursprünglichen gelangen sollte. Der Schlussparagraph des zweiten aufsatzes weist jedoch nach, dass diese zweite Jacobi'sche Reductionsart nicht nur der ersten vollständig ebenbürtig zur Seite steht, sondern diese sogar darin noch übertrifft, dass dieselbe auch die singulären Lösungen zu liefern vermag, die bei der ersten Methode ganz verloren gehen. Erst nach Veröffentlichung seiner Arbeit hat der Verfasser bemerkt, dass Herr Mansion in seinem Werke über partielle Differentialgleichungen erster Ordnung (p. 207 dieses Bandes, JFM 07.0207.01) von dem Problem, auf welches die in Rede stehende Jacobi'sche Reductionsart hinausläuft, dieselbe Lösung bereits etwas früher gegeben hat.