Ueber eine Erweiterung der Lie'schen Integrationsmethode. (Q1557469)

Das Fundamentaltheorem, welches der Lie'schen Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen \(1^{\text{ter}}\) Ordnung, wie dieselbe in Clebsch Ann. VI. p. 162 dargestellt worden ist, zu Grunde liegt, kann folgendermassen ausgesprochen werden: Die vollständige Integration der gegebenen partiellen Differentialgleichung \(1^{\text{ter}}\) Ordnung mit \(n\) unabhängigen Variabeln \(q_1,\ldots q_n\) \[ H_1(q_1,\ldots q_n,p_1,\ldots p_n)=\text{ const. } \] lässt sich auf die vollständige Integration einer partiellen Differentialgleichung \(1^{\text{ter}}\) Ordnung mit nur noch \(n-m\) unabhängigen Variabeln zurückführen, sobald man zu der gegebenen Function \(H_1\) andere \(m\) Functionen \(H_2,\ldots H_{m+1}\) der \(2n\) Variabeln \(q\) und \(p\) hinzugefunden hat, welche den bekannten Bedingungen \[ (H_iH_k)=0 \] identisch genügen und von einander wie von \(H_1\) unabhängig sind in Bezug auf die Differentialquotienten \(p\) der unbekannten Function. Nun giebt es zwar eine ganze Reihe von Methoden, welche lehren, wie man unabhängige Functionen finden kann, welche paarweise mit einander und mit \(H_1\) verbunden die Bedingungen \((H_iH_k)=0\) erfüllen. Aber bei keiner von diesen Methoden ist man a priori sicher, dass die Functionen, zu diesen Methoden ist man a priori sicher, dass die Functionen, zu denen man schliesslich gelangt, auch wirklich grade in Bezug auf die Variabeln \(p\) von einander unabhängig sind. daher war es eine wichtige Aufgabe, zu zeigen, dass diese Forderung der Unabhängigkeit hinsichtlich der \(p\) überflüssig ist, und dass der obige Satz auch dann noch richtig bleibt, wenn die Functionen \(H_1,H_2,\ldots H_{m+1}\) nur überhaupt von einander anabhängig sind. Die Lösung dieser Aufgabe gelingt in der vorliegenden Note dadurch, dass zu dem Ausnahmefalle, wo die Functionen \(H\) in Betreff der \(p\) von einander abhängig sind, eine bestimmte Berührungs-Transformation zu Hülfe genommen wird. Eine andere und einfachere Lösung des Problems hat später Lie in Clebsch Ann. IX. p. 295 (siehe oben, JFM 07.0225.01) gegeben.