On asymptotic values, infinitary approximations and infinitary solutions of equations. Addendum. (Q1557494)

Die vorliegende Abhandlung enthält die Fortsetzung der Untersuchungen des Herrn Verfassers über das Unendlichwerden der Functionen, begonnen in zwei Abhandlungen, worüber man vergl. F. d. M. III. 197, JFM 03.0197.01 und IV. p. 196, JFM 04.0196.01. Es werden zunächst die Formeln aufgestellt \[ \lim \{ f(x+a) - f(x) \} = a\lim f'(x), \quad \lim \frac{f(x)}{x} = \lim f'(x), \quad (\lim x = \infty), \] welche in dem Sinne zu nehmen sind, dass die Existenz des Grenzwerthes \(\lim f'(x)\) vorausgesetzt wird. Aus ihnen ergiebt sich durch passende Substitutionen für \(f(x)\) oder \(x\) eine Reihe von Formeln über \[ \lim \{ f(x+a) : f(x) \}, \quad \lim \{ f(ax): f(x) \}, \text{ u. s. w. für }\lim x = \infty. \] Allgemeinere Formeln erhält man noch, wenn man, anstatt vom gewöhnlichen Mittelwerthsatze, von der Lagrange'schen Restformel ausgeht. Der \(3^{\text{te}}\) Abschnitt beschäftigt sich mit der Untersuchung des Unendlich und der infinitären Eigenschaften der Ausdrücke \[ \frac{f(x+a)}{f(x)}, \quad \frac{f(ax)}{f(x)}, \quad f(x+a)-f(x), \] wenn sie unendliche Grenzwerthe besitzen und \(a\) nicht, wie oben, eine Constante ist, sondern selbst eine Function von \(x\), welche für \(x =\infty\) einen endlichen oder unendlichen oder unendlichen Grenzwerth besitzt. Hierzu sind einige Sätze aus der Theorie der Infinitärtypen nothwendig, welche im \(2^{\text{ten}}\) Abschnitte sich finden, der sich unmittelbar an die Eingangs erwähnten Aufsätze anschliesst. Von den zahlreichen Sätzen über den in Rede stehenden Gegenstand möge der erste hier erwähnt werden. ``Es ist \[ (1) \quad \frac{f(x+a)}{f(x)} = e^{u \frac{f'(x)}{f(x)}} \quad (u \sim 1), \] wenn \(a \sim 1\) und \[ e^{e^{Mx}} \succsim f(x) \succsim e^{-e^{Mx}}, \; M \text{ beliebig gross.} \] Zweitens ist \[ \frac{f(x+a)}{f(x)} = e^{a\frac{f'(x)}{f(x)} u} \quad \underset {x=\infty} {\lim} u = 1 \] auch für \(a \sim 1\) und \[ e^{e^{\mu x}} \succsim f(x) \succsim e^{-e\mu x}, \;\; \mu \text{ beliebig klein.} \] Wenn drittens \(1\prec a \prec x\), so gilt die nämliche Gleichung unter der Bedingung \[ e^{x^M} \succsim f(x) \succsim e^{-x^M}, \;\; M \text{ beliebig gross.''} \] Von besonderem Interesse ist ferner die Untersuchung, welcher Bedingung die Function \(a\) genügen müsse, damit \(f(x+a):f(x)\) einen endlichen Grenzwerth habe. Die rechte Seite der Gleichung (1) stellt einen \(asymptotischen\) \(Ausdruck\) der Function \(f(x+a):f(x)\) dar. Dieser Begriff lässt sich leicht auf eine beliebige Function von \(x\) verallgemeinern; er gewinnt aber erst Bedeutung durch geeignete Beschränkung: \textit{``Infinitäre Approximation an eine Function \(y\) oder infinitäre Lösung nach \(y\) einer Gleichung \(f(x,y) = 0\)} heisse jede Function \[ y = \psi (x,\; u,\; u_1,\ldots), \] die durch Elimination der bis auf gewisse infinitäre Eigenschaften unbekannten Functionen \(u\), \(u_1\) \(\ldots\) zu einer Gleichheit \[ (2) \quad F(y) \sim F(\eta) \] führt, in der \(\eta\) vollständig bekannt ist und \(F(x) \succ 1.\)'' Hiernach ist z. B. in (1) die rechte Seite eine infinitäre Approximation an die rechte, weil man hat \[ l \frac{f(x+a)}{f(x)} \sim le^{\frac{f'(x)}{f(x)}}, \] wo rechts alles bekannt ist. Weiter soll ``die am stärksten unendlich werdende Function \(F(x)\), für deren Potenzen die Gleichheit \(F(y) \sim F(\eta)\) nocht stattfindet, der \textit{Grad der infinitären Approximation} heissen.'' (In obigem Beispiele ist \(lx\) dieser Grad). Die Theorie dieser Begriffe wurzelt in folgenden Sätzen: 1) Wenn \(F(x) \succ 1\) und für zwei Functionen \(y\) und \(\eta\) von \(x\) die Gleichheit (2) stattfindet, so ist sie auch richtig für jede Function \(F_1(x)\), die der Bedingung \(1\succsim F_1(x) \prec F(x)\) genügt. 2) Wenn die Gleichheit (2) für jede beliebige Grösse des Unendlich von \(F(x)\) und ein unveränderliches Unendlich von \(y\) und \(\eta\) stattfinden soll, so muss von irgend einem endlichen Werthe von \(x\) an \(y = \eta\) sein. 3) Es sei das Unendlich von \(\eta\) beliebig viel grösser oder beliebig viel kleiner als das von \(y\), so giebt es immer eine Function \(F\) der Art, dass \(F\succ 1\) und \(F(y) \sim F(\eta)\). Demnach existirt für zwei Functionen \(y\) und \(\eta\) stets eine Function \(F\), welche die Grenze bildet zwischen den Relationen \(f(y) \sim f(\eta)\) und \(f(y) \begin{matrix} \prec \\ \succ \end{matrix} f(\eta)\). Sie bestimmt den Grad der infinitären Annäherung von \(\eta\) an \(y\). Die Gleichheit \(F(y) \sim F(\eta)\) ist dann richtig innerhalb eines gewissen \(begrenzten\) Intervalles des Unendlich von \(\eta\), das sich nicht ändert, so lange der Typus von \(F\) ungeändert bleibt. Der Herr Verfasser geht nun dazu über, die infinitären Lösungen einiger Gleichungen \[ x = \varphi (y), \quad \varphi (x+a) - \varphi (x) = C, \] \[ \psi (\alpha + \delta) - \psi (\alpha) - \delta\psi '(\alpha) = C \text{ etc.} \] wirklich aufzustellen und auf Grund der eben dargelegten Principien ihren Annäherungsgrad zu bestimmen, wo dies nützlich erscheint. Die Untersuchungen, deren Gang im Vorstehenden kurz angedeutet wurde, sind von Wichtigkeit für die Theorie der Fourierschen Reihen.