Studies on the coefficients of the analytic faculty. (Q1557509)

Es möge \(\varphi _r (n)\) die Summe der Producte bezeichnen, welche man durch Multiplication von \(r\) aufeinanderfolgenden der \(n-1\) Zahlen 1, 2, 3, \(\ldots\) \(n-1\) ohne Wiederholungen erhält, und \(\psi_r(n)\) die Summe der Producte, welche man in derselben Weise aus den \(n\) Zahlen 1, 2, 3, \(\cdots n\) erhält. Der Verfasser entwickelt einige Formen, in denen die analytischen Ausdrücke von \(\varphi_r(n)\) und \(\psi_r(n)\) darstellbar sind als Functionen der Binomialcoefficienten. Zunächst stellt er durch Induction fest, dass \(\varphi _r(n)\) die Form \[ (A) \quad \varphi_r(n) = A_1^r (n)_{r+1} + A_2^r (n)_{r+2} + \cdots + A_r^r (n)_r \] annehmen kann, wo \[ (n)_r = \frac{n(n-1) \ldots (n-r+1)}{1\cdot 2 \cdots r} \] ist, und giebt dann eine einfache Methode, um von den Coefficienten \(A_1^{r-1}\), \(A_2^{r-1}\), \(\ldots A_{r-1}^{r-1}\) zu den Coefficienten \(A_1^r\), \(A_2^r\), \(\ldots A_n^r\) überzugehen. Indem er so von dem Ausdruck \(\varphi_1 (n) = (n)_2\) ausgeht, erhält er jedes Glied der Reihe \(\varphi_1(n)\), \(\varphi_2(n)\), \(\varphi_3(n)\) \(\ldots\) aus dem vorhergehenden, während die bisher bekannten, dahin gehörigen Formeln die Berechnung eines Gliedes dieser Reihe von allen vorhergehenden abhängig machten. Setzt man ferner \[ [n]_r = \frac{n(n+1) \ldots (n+r-1)}{1\cdot 2 \ldots r} \] und bemerkt, dass \[ \psi_r (n) = \varphi_r(-u) \quad \text{und} \quad (-n)_r = (-1)^r [n]_r \] ist, so ergiebt sich mittelst Vertauschung von \(n\) mit \(-n\) der Ausdruck für \(\psi_r (n)\). Im Folgenden wird dann bewiesen, dass \(\varphi _r(n)\) auch die Form \[ \varphi_r(n) = B_1^r (n)_{2r} + B_2^r (n+1)_{2r} + \cdots + B_r^r (n+r-1)_{2r} \] annehmen kann. Der Verfasser giebt auch hier eine Methode zur Berechnung der Coefficienten \(B\). Durch Vertauschung von \(n\) mit \(-n\) wird auch hier analog der Ausdruck für \(\psi _r (n)\) hergeleitet. Im Weiteren beschäftigt sich die Arbeit mit der directen Berechnung eines Gliedes der Reihe \(\varphi_1(n)\), \(\varphi_2(n)\) \(\ldots\) unabhängig von den vorhergehenden Gliedern, also mit der Untersuchung der analytischen Ausdrücke der Coefficienten \(A_s^r\), \(B_s^r\) als Functionen der Indices \(r\) und \(s\). Wirklich bestimmt werden indess hier nur die Coefficienten \(A_s^r\), indem die Bestimmung der \(B_s^r\) einer weiteren Arbeit vorbehalten wird. Dann werden die Formeln des Verfassers mit denen verglichen, die Prof. Gambardella auf anderem Wege in einer Note in Battaglini G. XI. (siehe F. d. M. V. p. 247, JFM 05.0247.01) hergeleitet hat. Schliesslich werden die Formeln zur Untersuchung der Summen \[ \varphi_r (0) + \varphi_r (1) + \cdots + \varphi_r(n), \varphi_r(0) - \varphi_r(1) + \cdots + (-1)^n \varphi_r (n) \] benutzt.