Theory of Elliptic Functions. (Q1557512)

Das vorliegende Werk der Herren Briot und Bouquet ist kaum eine zweite Auflage der im Jahre 1859 erschienenen ``Théorie des fonctions doublement périodiques et, en particulier, des fonctions elliptiques'' zu nennen, so sehr ist es nach Inhalt und Form von dieser verschieden. Die erste Auflage umfasste 342 Octavseiten, die neue umfasst circa 700 Quartseiten. Obwohl der Titel der letzteren beschränkender klingt, so enthält sie doch eine allgemeine Functionentheorie, nanch den Principien Cauchy's entwickelt; und dieser allgemeinen Theorie folgt dann die der doppeltperiodischen Functionen, deren einfachste Gattung die elliptischen sind. Das ganze Werk, das sich durch die den Franzosen eigene Klarheit der Darstellung auszeichnet, ist eingetheilt in neun Bücher. Das I. Buch führt den Titel ``Algebraische Functionen''. Es beginnt mit den Definitionen der Function einer imaginären Variabeln, ihrer Ableitung, der Begriffe \textit{monotrop}, \textit{polytrop}, \textit{holomorph}, \textit{méromorph}, \textit{Pol}. \textit{Monotrop} heisst innerhalb eines Bereiches \(C\) eine Function \(f(z)\), die nur einen und denselben Werth für irgend einen in \(C\) liegenden Punkt annimmt, auf welchem Wege man auch innerhalb \(C\) von einem Ausgangspunkte \(z_0\), wofür \(f(z)\) gegeben ist, zu \(z\) gehe; \textit{polytrop} heisst \(f(z)\), wenn es für einen oder mehrere singuläre Punkte (\textit{points critiques}) nicht monotrop. \textit{Holomorph} heissen alle Functionen, die stetig und monotrop sind und innerhalb des ganzen Bereiches eine Ableitung haben; \textit{méromorph} heisst holomorph mit Ausnahme gewisser \textit{Pole}, d. h. solcher Punkte, für welche die Function \(u\) unendlich wird, doch so, dass \(\frac 1u\) in der Umgebung dieses Punktes holomorph bleibt. Man sieht, die Herren Verfasser sind hier in etwas von den Cauchy'schen Bezeichnungen der ersten Auflage abgewichen. Es folgt auf diese Definitionen eine Auseinandersetzung der Riemann'schen Transformation durch reciproke radii vectores. Das \(2^{\text{te}}\) Capitel enthält die Theorie der algebraischen Functionen, welche in Auflage I. fehlt, nach den Methoden von Cauchy, Puiseux und Clebsch und Gordan. Buch II. ist betitelt: ``Functionen, welche durch Reihen definirt sind'' und behandelt 1) die Eigenschaften der nach ganzen und steigenden Potenzen der Variabeln geordneten Reihen (Convergenz, Stetigkeit, Existenz der Ableitung, nach Abel und Dirichlet), 2) die Exponential- und Kreisfunctionen, 3) die Function \[ \varTheta (z) = \sum_{-\infty}^{+\infty} e^{nz + n^2 a} \] (Convergenz, Holomorphie, einfache Periodicität), und 4) die elliptischen Functionen, d. h. zunächst die 4 \(\theta\)-Functionen, welche durch einfache Transformationen aus dem \(\varTheta (z)\) entstehen, und dann die elliptischen Functionen \(\lambda (z)\), \(\mu(z)\), \(\nu(z)\), welche Quotienten der ersteren sind (ihre Fundamentaleigenschaften, Vermehrung des Arguments um halbe Perioden). Im III. Buche wird die Theorie der ``bestimmten Integrale'' zwischen complexen Grenzen, nach Cauchy's Principien entwickelt. Die Fundamentaleigenschaften der bestimmten Integrale werden durch zahlreiche Beispiele erläutert; ebenso die Theorie der Entwickelung der Functionen in Reihen, die nach ganzen Potenzen der Variabeln geordnet sind. So wird die Taylor'sche Reihe auf die Lagrange'sche Formel angewendet (nach Cauchy, F. Chiò und Rouché,) und diese durch Beispiele erläutert. Den Schluss des dritten Buches bildet das Studium der Perioden der bestimmten Integrale; die Theorie der Cyclen und Umgänge, wie sie von Puiseux entwickelt ist, wird nach der Methode von Clebsch und Gordan (Theorie der Abel'schen Functionen, Abschnitt IV.) behandelt. Das IV. Buch: ``Allgemeine Eigenschaften der Functionen'' hat denselben Inhalt, wie I. 4. (Buch I. Cap. 4) der ersten Auflage. Hier werden die Bedingungen gegeben, wann eine holomorphe oder meromorphe Function null, wann constant, wann eine ganze Function, wann ein rationaler Bruch (nach Liouville). Es folgen die Eigenschaften der polytropen Functionen, im Wesentlichen nach den von den Verfassern im J. de l'Éc. Polyt. 1856 bewiesenen Sätzen; ferner im \(2^{\text{ten}}\) Capitel die Eigenschaften der Functionen \(X\) und \(Y\), d. h. des reellen und des imaginären Theiles in \(u = f(x + yi) = X+Yi\). Mit dem \(3^{\text{ten}}\) Capitel dieses Buches beginnt das Studium der allgemeinen Eigenschaften der doppeltperiodischen Functionen. In der ersten Auflage gelangten die Verfasser auf folgende Weise zu den doppeltperiodischen Functionen. Sie entwickelten (in II. 1.) die Eigenschaften derjenigen Functionen, welche durch Differentialgleichungen definirt werden, (diese allgemeine Theorie folgt, wie wir sehen werden, hier viel später); dann zeigten sie (II. 2), wie gewisse sehr einfache Differentialgleichungen einfach-periodische Functionen definiren, und (II. 3) wie dei doppelt-periodischen Functionen einer nächst höheren Klasse von Differentialgleichungen ihre Entstehung verdanken; im darauf folgenden Capitel (II. 4) wurden dann die Theorie der Periodenparallelogramme und die daraus folgenden allgemeinen Eigenschaften der doppelt-periodischen Functionen entwickelt. In der neuen Auflage hingegen wird eine doppeltperiodische Function zunächst definirt durch die Gleichung \[ f(z + m\omega + m'\omega') = f(z); \] es wird dann das Periodenparallelogramm betrachtet und die Transformation der Perioden vorgenommen. \(Zwischenfunctionen\) (fonctions intermédiaires) werden diejenigen Functionen genannt, welche in der ganzen Ebene holomorph sind und den Bedingungen \[ f(z+\omega) = e^{az+b} f(z), \quad f(z+\omega') = e^{a'z + b'} f(z) \] genügen. Alle lassen sich durch die Function \(\varTheta\) ausdrücken (Hermite, Lettre à Jacobi, 1844). Nun folgen die Fundamentalsätze Liouville's über die Anzahl der Nullen und Unendlichs. Mit Hülfe des Vorigen lässt sich nun zeigen, dass die 3 elliptischen Functionen den Gleichungen \[ \mu^2 + \lambda^2 = 1, \quad \nu^2 + k^2 \lambda^2 = 1 \] genügen, und dass eine meromorphe doppelt-periodische Function \(2^{\text{ter}}\) Ordnung \(u = f(z)\) der Differentialgleichung \[ \frac{du}{dz} = \sqrt{R_{(3,4)} (u)} \] genügt. Jede meromorphe doppelt-periodische Function lässt sich rational durch eine Function \(2^{\text{ter}}\) Ordnung, mit denselben Perioden, und deren Ableitung ausdrücken (Liouville). Es folgen die Sätze über die Darstellung der doppelt-periodischen Function als lineare Function von \(D\) \(\log \theta (z-\alpha)\), resp. durch diese und deren Ableitungen. Hieran schliessen sich diejenigen Untersuchungen über die algebraischen Relationen zwischen zwei Functionen mit denselben Perioden, welche die Verfasser im J. de l'Éc. Pol. 1856 entwickelt. Die Betrachtung des Netzes, welches durch die zweien Netzen gemeinsamen Ecken gebildet wird, führt zu weiteren Theoremen. Das \(5^{\text{te}}\) Capitel des \(4^{\text{ten}}\) Buches enthält die Darstellung der Functionen als Summen, und das \(6^{\text{te}}\) die Entwickelung der Functionen in Producte (erste Auflage IV. 1. u. 2(. Zahlreiche Beispiele erläutern diese Darstellungen. Jetzt folgt, Buch V., die Theorie der ``durch Differentialgleichungen definirten Functionen''. Zunächst wird die Existenz der Integralfunction nach Cauchy's Sätzen und denen der Verfasser dargethan. Es wird hier auch der Fall untersucht, wo der Differentialcoefficient unbestimmt oder unendlich wird. Als Beispiele bringt Capitel 2 \[ \frac{du}{dz} = u, \quad \frac{du}{dz} = 1+u^2, \] \[ \frac{du}{dz} = \sqrt{G(u-a) (u-b)}, \quad \frac{du}{dz} = \sqrt{G(u-a)(u-b)(u-c)(u-d)}. \] In Capitel 3 werden die elliptischen Functionen, durch Differentialgleichungen definirt, betrachtet. Capitel 4 enthält die Anwendung der in Capitel 1 gegebenen allgemeinen Methoden für das Studium der durch Differentialgleichungen definirten Functionen, auf die Integration der Differentialgleichungen vermittelst der elliptischen Functionen, eine Anwendung, welche die Herren Verfasser in der ersten Auflage an den Schluss des Werkes (VI.) gesetzt hatten. Nachdem die Bedingungen aufgestellt sind, unter denen eine algebraische, irreductible Gleichung \[ F\left( u, \; \frac{du}{dz} \right) = 0, \] welche \(z\) nicht enthält, ein monotropes Integral hat, werden die Fälle untersucht, wann das Integral algebraisch, einfach- oder doppelt-periodisch. Die gewonnenen Resulatte werden dann auf binomische und trinomische Gleichungen angewendet, und den Schluss des Buches bildet die Angabe der allgemeineu Integrationsmethode. Buch VI. führt den Titel: ``Entwickelung der elliptischen Functionen.'' Es enthält im ersten Capitel die von Jacobi in seinen ``Fundamenta nova'' gegebene Transformation der elliptischen Integrale, die 3 Normalformen Legendre's, Jacobi's Ausdrücke der \(2^{\text{ten}}\) und \(3^{\text{ten}}\) Gattung durch die Thetafunction und die Differentialgleichung \(2^{\text{ter}}\) Ordnung für die Perioden. In Capitel 2 wird die Entwickelung der elliptischen Functionen in ganze Reihen gelehrt. Da die hier nothwendige Bestimmung der Coefficienten durch die successiven Ableitungen sehr mühsam ist, so wird eine von Hermite herrührende Methode mitgetheilt, welche direct die Berechnung der Coefficienten durch Auflösung eines Systems linearer Gleichungen gestattet. Die Berechnung der Reihen für \(\lambda^{2n+1} (z)\), \(\lambda^{2n} (z)\) etc. wird abgekürzt mit Hülfe der in III. 3. gegebenen Differentialgleichungen für die \(\theta\), und diese werden vereinfacht durch die Weierstrass'schen Functionen \(Al\) (Crelle J. 56), welche Zwischenfunctionen sind. Den Schluss dieses Buches bildet die Entwickelung der elliptischen Functionen in trigonometrische Reihen. Hier knüpfen die Verfasser an die in III. 3. gegebenen Theoreme für die Fourier'sche Reihe an. Im VII. Buche wird die ``Addition, Multiplication und Division der Argumente in den elliptischen Functionen'' behandelt. Die Verfasser beginnen mit denjenigen Relationen für die \(\theta\)-Functionen, welche aus der Fundamentalformel \[ \prod_{x_1 y_1 z} \theta_1 (x+a)\cdot \theta_1 (x+b)\cdot \theta_1(y+z + a+b) \theta(y-z) = 0 \] entspringen. Die resultirenden 256 Gleichungen werden in 6 Klassen getheilt. Es folgen die Jacobi'schen Gleichungen (Crelle J. 1845) für die Producte aus je 4 \(\theta\)'s. Mit Hülfe der vorigen Relationen lässt sich das Problem der Integralrechnung lösen, dessen Analogon für die Abel'schen Functionen von Rosenhain (Acad. des Sciences, Sav, étr. 1851) gefunden. Capitel 2 enthält die Anwendung auf die Addition der Argumente, welche nach zwei verschiedenen Methoden (auch ohne auf die \(\theta\)-Functionen zu recurriren) behandelt wird. Die Addition der Argumente und der Parameter in den elliptischen Functionen \(3^{\text{ter}}\) Gattung beschliesst das Capitel. Im Folgenden werden Abel's und Jacobi's Methoden für die Multiplication des Argumentes auseinandergesetzt, und im \(4^{\text{ten}}\) die Division einer der Perioden. Hierin finden sich auch die von Hermite (C. R. 1863) gegebenen Formeln zur Entwickelung von \(\root 4 \of k\) und \(\root 4 \of{k'}\) in die Jacobi'schen Reihen, sowie die Gauss'schen Sätze von der Grenze des arithmetisch-geometrischen Mittels, und endlich Jacobi's partielle Differentialgleichungen f\"r die Functionen \(\theta \left( z, \; \frac{\omega}{n} \right)\) und \(\theta \left( z, \; \frac{\omega'}{n} \right)\). Das Schlusscapitel bringt die Division des Argumentes in den elliptischen Functionen. Es folgt nun, im VIII. Buch, die ``Transformation'' der elliptischen Functionen. Sie beginnt mit Abel's Untersuchungen, wann \(y\) eine algebraische Function von \(x\) ist in der Differentialgleichung \[ \frac{dy}{g\sqrt{1-y^2} \sqrt{1 - k_1^2 y^2}} = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-k^2 x^2}}. \] Hieran schliessen sich die weiteren Untersuchungen Abel's und Jacobi's, wann \(y\) rational in \(x\), die Transformation \(1^{\text{ten}}\) Grades, die ungraden und die graden Grades. Capitel 2 enthält die Theorie der Modulargleichungen, wie sie von Jacobi und Hermite ausgebildet ist. Das Schlusscapitel bildet die Lösung der Gleichung \(5^{\text{ten}}\) Grade (nach Hermite). Es beginnt mit Hermite's und Betti's Beweis für den Galois'schen Satz von der Erniedrigung des Grades der Modulargleichung, und schliesst mit der Reduction der Gleichung \(5^{\text{ten}}\) Grades auf die Jerrard'sche Form \[ x^5 - Ax - B = 0. \] Buch IX. ist betitelt ``das Abel'sche Theorem.'' Die Verfasser beginnen mit der Definition der Abel'schen Integrale \(1^{\text{ter}}\), \(2^{\text{ter}}\) und \(3^{\text{ter}}\) Gattung, und wenden die allgemeine Theorie auf die ultraelliptischen Integrale an. Darauf folgt die Herleitung der Relationen zwischen den Perioden zweier Abel'scher Integrale, und das Schlusscapitel bildet der Beweis des Abel'schen Theorems. Hier haben die Verfasser die Methoden von Clebsch und Grodan befolgt. Mit der Anwendung des Abel'schen Satzes auf die Herleitung der Formel für die Addition der elliptischen Integrale erster Gattung schliesst das inhaltreiche Werk.