On the periods of elliptic integrals of the first and second kind. (Q1557518)

Unter Zugrundelegung der von Herrn Weierstrass in seinen Vorlesungen gegebenen Normalformen \[ \int \frac{ds}{\sqrt{4s^3 - g_2 s - g_3}} \quad \text{und} \quad \int \frac{sds}{\sqrt{4s^3 - g_2 s - g_3}} \] für die elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung wird eine analytische Darstellung der zugehörigen Perioden \(\omega\) und \(\eta\) gegeben. Substituirt man für \(\omega\) und \(\eta\) resp. \[ \varOmega g_3^{-\frac 16} g^{\frac 13} \quad \text{und} \quad Hg_3^{\frac 16}, \quad \left( \text{wo } g = \frac{g_2^3}{27g_3^2} \right), \] so wird man auf die Differentialgleichungen \[ 0 = g(g-1) \frac{d^2 \varOmega}{dg^2} + \left(\frac 73 g - \frac 43\right) \frac{d\varOmega}{dg} + \frac{55}{144} \varOmega, \] \[ 0 = g(g-1) \frac{d^2 H}{dg^2} + \left(\frac 43 g - \frac 13\right) \frac{dH}{dg} - \frac{5}{144} H \] geführt, also auf die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe \(F(\alpha,\; \beta,\; \gamma,\; x)\). Die Perioden lassen sich also mit Hülfe hypergeometrischer Reihen darstellen, deren viertes Element eine einfache lineare Function der absoluten Invariante \(g\) ist.