Die Elemente der projectivischen Geometrie in synthetischer Behandlung (Q1557663)

Dieses Buch ist den hinterlassenen Schriften Hankel's entnommen und bildet den im Wesentlichen unveränderten Abdruck eines für die Vorlesungen in Tübigen ausgearbeiteten Heftes; es ist, unter Mitwirkung von F. Klein, von A. Harnack herausgegeben. Es unterscheidet sich von andern Lehrbüchern der synthetischen Geometrie durch eine originelle Art der Gruppirung und Behandlung, sowie durch die Aufnahme einiger Capitel, die man sonst nicht findet. Vor allem heben wir die interessante historische Einleitung über den Entwickelungsgang der neueren Geometrie seit Monge hervor. Sie beginnt mit einer Vergleichung der modernen Geometrie und der der Alten, wie wir sie schon aus Hankel's Antrittsrede in Tübingen: Die Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten, (Tübingen 1869, s. F. d. M. II. p. 15, JFM 02.0015.01) kennen; bringt dann einen Ueberblick über die Geometrie seit Descartes und ihre Vernachlässigung nach Erfindung des Infinitesimalcalculs; worauf der durch Monge bewirkte Umschwung, die neuere Blüthezeit der Geometrie und die Thätigkeit und die Erfindungen von Carnot, Poinsot, Poncelet, Möbius, Steiner, Plücker, Chasles, v. Staudt geschildert werden. Der erste Abschnitt bringt dann, wie üblich, Princip der Zeichen, Doppelverhältniss, Harmonicität, vollständige Vierecke und Vierseite, metrisch-projective Relationen, Dreieck-, Dreiseit-, Vieleck-, Vielseit-Verhältnisse, von denen die letzteren gewöhnlich weniger beachtet werden. Es ist nur zu bedauern, dass Hankel in der Schreibweise des einfachen und des Doppelverhältnisses sich nicht der Majorität, welche \[ \frac{AC}{BC}\quad \text{und}\quad\frac{AC}{BC}:\frac{AD}{BD}=(ABCD) \] schreibt, angeschlossen hat, sondern \[ \frac{AC}{CB}\quad\text{und}\quad\frac{AC}{CB}:\frac{AD}{DB} \] schreibt. Durch dieses Schwanken sind gewisse Formeln (z. B. die der Sätze von Menelaus und Ceva) in steter Unruhe, und es ist nicht leicht, sie dem Gedächtniss einzuprägen. Mag es gestattet sein, zu diesem Capitel noch ein paar andere Bemerkungen zu machen. Referent hat von \S4 ab bei manchen Formeln des exacten Nachweis, dass sie auch bis auf's Vorzeichen richtig sind vermisst; z. B. wo Verhältnisse von Strecken vorkommen, die nicht derselben oder parallelen Geraden angehören, insbesondere aber bei den Formeln mit Sinusverhältnissen. So steht für den Drehungssinn der Winkel bei den Formeln S. 56 nur die Definition der Seite 43 zur Verfügung, die dort aber nicht passt; man muss vielmehr eine S. 59 mehr nebenbei gemachte Bemerkung anticipiren. Die öftere Anwendung ferner des Poncelet'schen Verfahrens der Centralprojection, durch welches die Gestalt der Figuren so vereinfacht wird, dass der zu beweisende Satz, von dem man vorher erkannt hat, dass er projectiv ist, (d. h. dass er durch Projection nicht alterirt wird), unmittelbar einleuchtet, ist, weil sie sonst seltener geschieht, anerkennend hervorzuheben; wenn nur die unendlich fernen Elemente, die dabei benutzt werden in noch befriedigenderer Weise eingeführt wären. Dass eine Gerade in's Unendliche projicirt werden kann (S. 44, 61), ist streng genommen, nicht bewiesen, und kann wohl auch vor Besprechung der Centralcollineation zweier Ebenen nicht bewiesen werden; auch was die historische Einleitung bringt, genügt nicht. Der zweite Abschnitt führt vermittelst der Begriffe von Pol und Polare am Kreise zum Princip der ebenen Dualität und zu ihrer Anwendung auf projectiv und nicht projectiv metrische Relationen. Der dritte Abschnitt enthält die Untersuchung der projectiven Punktreihen und Strahlbüschel, Desargues' Satz von den perspectiven Dreiecken, dessen Corollare ziemlich weit verfolgt werden, die Betrachtung der Involution und ein- und umgeschriebener Polygone. Bei den metrischen Relationen für die projective Beziehung wird die allgemeinste algebraische Form \[ xx'+\lambda x+\lambda 'x'+\mu=0 \] gewonnen. Die Untersuchung über die Doppelpunkte auf einander liegender projectiver Punktreihen und ihre realität geschieht sehr eingehend; der mit der Geschichte der Geometrie des Alterthums vertraute Verfasser weist auf die Beziehung dieses Problems zu gewissen Problemen der Alten hin, und hat dann auch nach dem Beispiele von Chasles (Traité de Géométrie supérieure Cap. 14) den ganzen vierten Abschnitt dazu bestimmt, die berühmten drei Probleme des Apollonius (Sectio rationis, Sectio spatii, Sectio determinata) in eingehender Weise mit Hülfe projectiver Gebilde zu behandeln, obgleich wohl diese Probleme für uns nicht mehr so interessant sind. Der fünfte Abschnitt bringt eine andere Anwendung projectiver gebilde, nämlich auf die Theorie eines Linsensystems, vorzugsweise nach Möbius (Berichte der Sächs. Ges. Math. phys. Klasse 1855); die ältere Untersuchung von Ch. Paulus im Anhange seiner neueren Geometrie (Stuttgart 1853) scheint Hankel nicht gekannt zu haben. Ausserdem werden die dioptrischen Untersuchungen von Gauss (1840, Werke V.), ferner neuere Arbeiten von Lippich (Mitth. des naturw. Vereins f. Steiermark II. 1871), Beck (Schlömilch Z. XVIII.), Reusch (Constructionen zur Lehre von den Haupt - und Brennpunkten eines Linsensystems, Leipzig 1870), Listing (Poggendorff Ann. Bd. 129), Töpler (ebenda 142) (cfr. Jahrb. II. 794 JFM 02.0794.01; III. 520 JFM 03.0520.01; V. 548 JFM 05.0548.01) benutzt, und ihre Resultate rein geometrisch ermittelt, so z. B. die Hauptpunkte von Gauss und die Knotenpunkte von Listing; doch muss der Verfasser die erst im \(7^{\text{ten}}\) Capitel zu besprechende Collineation und Affinität hier anticipiren; letztere besonders bei der Construction von Reusch. Der sechste Abschnitt behandelt die Construction der Kegelschnitte durch projective Gebilde nach Steiner. Das Erzeugniss projectiver Strahlbüscheln entstehen. Es folgt die lineare Construction, Pascal's Satz mit Erweiterungen und Specialisirungen; dann die duale Betrachtung, bei der ebenfalls der Nachweis geführt wird, dass das Erzeugniss der Schnitt eines Kreiskegels ist; ferner der Identitätsbeweis, der darauf beruht, dass die Specialisirungen der Sätze von Pascal und Brianchon auf 4,3 Punkte und ihre Tangenten, bez. 4,3 Tangenten und ihre Berührungspunkte zu denselben Figuren führen. Das Capitel schliesst mit einer kurzen Betrachtung über Pol, Polare, Durchmesser, Mittelpunkt, und einige andere Eigenschaften; die Brennpunkte werden nicht betrachtet. Der letzte Abschnitt, in dem sich der Verfasser mehr auf Andeutungen beschränkt, bringt die von metrischen Relationen unabhängige Staudt'sche Begründung der projectiven Beziehung, die von perspectiv gelegenen Dreicken und der Definition harmonischer Punkte durch das vollständige Viereck ausgeht. Der Begriff der geometrischen Verwandtschaft wird zuerst an den speciellen Fallen der Identität (Congruenz) und Aehnlichkeit erläutert; darauf die allgemeine Collineation zweier ebenen Systeme betrachtet, insbesondere die Fluchtlinien und das Dreieck der Doppelpunkte, bei collinearen Systemen in derselben Ebene. Die Aufgabe, zwei collineare Systeme in perspective Lage zu bringen, sowie auch die von Möbius im barycentrischen Calcul aus einem vollständigen Vierecke abgeleiteten Netze finden Berücksichtigung. Den Schluss bildet der Specialfall der Affinität.