Weitere Beiträge zur Theorie der isogonalen Verwandtschaften. (Q1557988)

Versteht man unter \(f(z)\) eine Function, in welcher einer reellen und continuirlichen Folge von Werthen der Grösse \(z\) eine ebensolche der Function entspricht, so hat die Doppelschaar von Isothermen, welche den Parametern \[ x = x_1, \quad y = y_1 \quad (z \equiv x + yi) \] entspricht, symmetrische Lage zur reellen Axe, in der Weise, dass jedem Zeige der Curve \(x = x_1\) auf der positiven Seite ein symmetrischer Zweig auf der negativen, jeder Curve \(y = y_1\) eine anderen \((y = - y_1)\) derselben Schaar entspricht. Sind \(\alpha, \beta\) und \(k\) positive Werthe und ist \[ (1) \quad f\;(z + \alpha) = \frac{1}{kfz}, \] oder \[ (2) \quad f\;(z + \beta i) = \frac{1}{kfz}, \] oder \[ (3)\quad fzi = \frac{1}{kfz}, \] so findet für die gedachten Curven Reciprocität statt in Bezug auf den Kreis, der um den Nullpunkt der \(Z\)-Ebene mit dem Radius \(\frac{1}{\sqrt{k}}\) beschrieben ist. Im ersten Falle ist jede \(y\)-Curve sich selbst reciprok, jedes Individuum der Schaar über; ähnlich ist es im \(2^{\text{ten}}\) Falle; für No. 3 gehen die Isothermen der einen Schaar in die der andern über. Naheliegende Anwendung finden diese Bemerkungen auf die schon vielfach behandelten Curvensysteme \(\varDelta\text{am}z, \sin \text{am} z, \cos \text{am} z\). Der Herr Verfasser wendet sich nun zur Betrachtung der Trajectorien dieser Curvensysteme, vermuthlich in der Absicht Eigenschaften derselben in analoger Weise aufzudecken, wie bei der logarithmischen Spirale (cfr. F. d. M. III. 431, JFM 03.0431.03). Da aber der allgemeinste Fall auf wenig interessante Curven zu führen scheint, wird die Untersuchung auf folgende Fälle beschränkt: 1) die Trajectorien, die das System \(\sin \text{am} z (\text{mod}k) = 3 - \surd 8\) unter dem Winkel \(\pm 45\) Grad schneiden, 2) die Trajectorien der Systeme \(\sin \text{am} z, \cos \text{am} z, \varDelta \text{am} z (\text{mod}k) = \surd \frac 12\); 3) die Trajectorien, deren Bilder in der \(z\)-Ebene den Diagonalen eines Periodenrechtecks parallel sind. In Fall 1) ergeben sich zwei Curvensysteme, welche in Bezug auf einen Kreis mit dem Radius \(\frac{1}{\surd{k}}\) reciprok sind, so dass die Curven der einen Schaar sich aus denen der andern erzeugen lassen. Ausser diesem um den Nullpunkt der \(Z\)-Ebene gelegten Kreis giebt es aber noch zwei andere in dem Curvensystem, gegen welche Reciprocität stattfindet, und zwar geht bei diesen jede Curve durch die Transformation in sich selbst über; die gedachten Kreise enthalten, der eine die Punkte + 1 und \(-\frac{1}{k}\), der andere \(-1\) und \(+\frac{1}{k}\). In Fall 3) werden die Trajectorien nur bisweilen (z. B. wenn \(\frac{2K}{K'} = 2^{p}\) wird, wo \(p\) eine ganze positive oder negative Zahl ist) algebraische Curven; interessant ist die Schlussbemerkung, dass demnach auch gewisse Trajectorien der sphärischen Kegelschnitte sowohl, wie der Krümmungslinien auf dem dreiaxigen Ellipsoid algebraische Curven werden müssen.