Reduction der Potentialgleichung für gewisse Rotationskörper auf eine gewöhnliche Differentialgleichung. (Q1558148)

Die Jablonowski'sche Gesellschaft hatte für das Jahr 1874 die Preisaufgabe gestellt, auf einem Rotationskörper, dessen Meridian durch die Lemniskate (Cassini'sche Curve) \[ (x^2 + y^2)^{2} - 2a^{2} (x^2 - y^2) = b^4 - a^4 \] dargestellt ist, die Vertheilung der Elektricität unter dem Einflusse gegebener äusserer Kräfte zu ermitteln. Für beliebige Rotationskörper ist die Lösung der Aufgabe von C. Neumann durch folgendes Verfahren zugänglicher gemacht worden. Statt der rechtwinkligen Coordinaten \(xyz\) (\(x\)-Axe = Rotationsaxe) führe man die krummlinigen orthogonalen Coordinaten \(t, u, \varphi\) durch die Gleichungen \[ u = r \cos \varphi, \quad z = r \sin \varphi, \quad x + ir = f(t + iu) \] ein, dann geht, wenn \(V_1 = V \surd r\) gesetzt wird, die Potentialgleichung \(\varDelta V = 0\) über in \[ \frac{\partial^{2}V_{1}}{\partial t^2} + \frac{\partial^{2}V_1}{\partial u^2} + \frac{1}{r^2 h^2} \left( \frac{\partial^{2}V_1}{\partial \varphi^{2}} + \tfrac{1}{4} V_1 \right) = 0. \] Die Integration dieser partiellen Differentialgleichung lässt sich durch Spaltung unmittelbar auf die Integration von zwei gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung reduciren, sobald der Factor \[ \frac{1}{r^2 h^2} \] sich darstellt als Summe von zwei Grössen, die respp. nur von \(t\) und \(u\) allein abhängen. Ausserdem ist e für die wirkliche Durchführung der Lösung wesentlich, dass unter den Flächen der Schaar \(t\) = constans oder \(u\) = constans sich auch die Begrenzung des gegebenen Körpers befinde. Die Hauptschwierigkeit reducirt sich deshalb auf die zweckmässige Wahl der Function \(f\). Wenn man \(x + ri\) gleich \[ a \sqrt{1 + e^{2 \;(t+iu)}} \quad \text{oder} \quad c \sqrt{\frac{1 + e^{t + iu}}{1 - e^{t + iu}}} \] setzt, so führen die Bedingungen \(t\) = constans oder \(u\) = constans allerdings auf Lemniscaten, aber die erste Bedingung, nämlich der Zerlegbarkeit von \(\frac{1}{r^2 h^2}\), ist dann nicht erfüllt. Das eigentliche Resultat der vorliegenden Arbeit besteht nun darin, dass die erforderliche Reduction für den in der Preisaufgabe gegebenen Körper vollständig gelingt, wenn man für \(f\) eine der drei einfachen elliptischen Funtionen \[ \sin \text{am}\;(t_1 + iu), \quad \cos \text{am} \;(t + iu), \quad \varDelta \text{am} \;(t + iu) \] wählt, und zwar ist es dann möglich, auch den allgemeineren Fall ebenso zu behandeln, indem die Meridiancurve durch die Gleichung \[ (x^2 + y^2)^{2} + Ax^2 + Br^2 = \pm D^{2} \] gegeben ist. Im Anschluss an dieses Ergebniss bildet dann die eingehende Discussion alle Specialfälle, sowie die vollständige Bestimmung der in der benutzten Substitution auftretenden willkürlichen Grössen den Hauptinhalt der Abhandlung. Die Lösung der Aufgabe selbst ist durchgeführt bis zur Bildung der gewöhnlichen Differentialgleichungen, auf deren Integration sich das Problem reduciren lässt.