Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter (Q1558421)

Wir nehmen zu unserem Referate über Hankel's posthumes Werk, für dessen Veröffentlichung wir dem Vater des Verstorbenen und Herrn Dr. v. Zahn in Leipzig zu Dank verpflichtet sind, Herrn Cantor's Recension hinzu, obwohl dieselbe, streng genommen, dem nächsten Bande vorbehalten werden müsste. Natürlich kann bei einem so originellen Werke die Besprechung nicht, auf ein blosses Referiren sich beschränken, vielmehr muss es, ohne in einen Recensententon zu verfallen, dem Referenten gestattet sein, seinen eigenen Ansichten Ausdruck zu geben. Wie der Titel besagt, haben wir hier keine Universalgeschichte der Mathematik vor uns, sondern eine Sammlung sorgsam ausgefeilter Monographien über einzelne Punkte. Den Beginn macht eine kurze \textit{Eintheilung der Geschichte der Mathematik}, dann folgen, chronologisch geordnet, zwölf Kapitel, denen sich noch zwei Anhänge anreihen. \textit{I. Zahlen und Zahlwörter in der vorwissenschaftlichen Periode.} Die Enstehung und Ausbildung einer systematischen Zählungsmethode wird sehr eingehend untersucht. Es ergiebt sich, dass im Wesentlichen alle Zahlensysteme von der Zahl 5, beziehungsweise deren Multiplis 10 und 20, ausgehen; dem vigesimalen Systeme wird eine ausführliehere Würdigung zu Theil, als in den meisten anderen Darstellungen. II. \textit{Ziffern in der vorwissenschaftlichen Periode.} Hankel beginnt diesen Abschnitt mit einer geistreichen geschichts-philosophischen Untersuchung über das Wesen und die allgemeine Bedeutung der Zifferschrift. Was die Art und Weise, Ziffern zu bilden und grössere Zahlen durch einfache Ziffern auszudrücken, betrifft, so wird zunächst hervorgehoben, dass weder das quinäre, noch auch das vigesimale System (abgesehen von dem der Azteken) es zur Bildung wirklicher Ziffern gebracht haben, ferner dass stets die höher Stufe der niederen im Sinne der Schrift vorangeht. Bei den Ziffersystemen selbst unterscheidet Hankel 6 Kategorien: Die erste ist \textit{die unsystematische Bezeichnung}, die sich bei den Griechen und bei den meisten semitischen Stämmen findet; dann folgt \textit{das additive Princip} der Mexikaner, Babylonier und Römer, welches merkwürdigerweise bei manchen Völkern von dem praktisch-bequemeren Systeme der unsystematischen Bezeichnung verdrängt wurde. Als drittes und viertes erscheint ein \textit{multiplicatives Princip} und ein \textit{elevatorisches Princip}, welche beide nicht wesentlich unter einander verschieden sind. An fünfter Stelle finden wir \textit{das Princip der Columnen}, den Vorläufer unseres jetzigen Systems, und endlich, mit Befreiung von den Banden der tabellarischen Schreibweise, dieses selbst, \textit{das Princip der Position}. Dasselbe ist bekanntlich indischen Ursprungs, und speciell nennt Hankel die Erfindung der Null für den Character dieses Volkes bezeichnend; dass aber dieses vollkommenste System, wie man glaubte, ein sehr altes ist, wird mit Beziehung auf die Forschungen Rack's verneint; im Gegentheile erscheinen noch im vierten Jahrhundert n. Chr. die einem ganz anderen Systeme angehörigen älteren Sanscritziffern. Bezüglich des additiven althellenischen Systemes bemerkt Cantor mit Recht, dass dasselbe keineswegs wenig bekannt sei, sondern bereits bei Nesselmann (Algebra der Griechen, S. 84 ff.) und anderwärts die gebührende Würdigung erfahren habe. III. \textit{Das praktische Rechnen in der vorwissenschaftlichen Periode.} Hier wird zunächst das sogenannte Fingerrechnen und die Addition mit Hülfe des Rechenbrettes besprochen, hierauf die Multiplication, eine Operation, welche ganz ihrer Definition gemäss, durch successive Addition vollzogen werden musste. Bei den Brüchen findet vor Allem das unendlich complicirte und gleichwohl keiner eigentlichen Genauigkeit fähige römische Minutien-System eine weit übersichtlichere Darlegung, als in irgend einem anderen Werke. Es wird gezeigt, dass das Bruchrechnen, wie besonders aus einem characteristischen Beispiel des Julius Frontinus hervorgeht, darauf hinauslief, jeden complicirten Bruch in einen oder mehrere aufsteigende Kettenbrüche zu zerlegen; das Zerlegungsverfahren hat Hankel auf's Glücklichste errathen, denn -- wie Cantor nachweist -- findet sich die von Hankel vermuthete Methode bei Fibonacci wirklich vor. Dann wird von den \textit{consequenten Bruchsystemen} das binäre (ägyptische), duodecimale und sexagesimale erörtert, welch letzteres bei den Babyloniern schon eine gewisse wissenschaftliche Durchbildung erfahren hatte. IV. \textit{Praktische Geometrie der vorwissenschaftlichen Periode.} Dieser Abschnitt handelt zuerst von dem in den ägyptischen Bauwerken zu Tage tretenden geometrischen Formensinn, wobei interessante Streiflichter auf die stillschweigend sich fortpflanzenden mathematischen Kenntnisse der Baumeister aller Zeiten fallen. Eine hieher gehörige Bemerkung von Kepler (dessen Leben von Reitlingen S. 100) scheint dem Verfasser entgangen zu sein. Dann wird über die älteste Feldmesskunst der Aegypter und Chinesen gesprochen, wobei die bekannte Schrift über das Messinstrument Kii-i Erwähnung findet; den Schluss macht die wissenschaftliche Geometrie der Aegypter, deren nähere Kenntniss wir dem Papyrus Rhind verdanken. Freilich war Hankel hier noch auf ungenügende Auszüge angewiesen, und hat den vollen Werth des in diesem niedergelegten Stoffes nicht ahnen können. V. \textit{Mathematik der Griechen. I. Periode.} Von Thales bis auf die Gründung der alexandrinischen Schule. Nachdem von Thales und den übrigen Joniern, über welche verbürgte Nachrichten mangeln, kurz berichtet ist, wird dem Pythagoras und seinen unmittelbaren Nachfolgern eine um so eingehendere Behandlung zu Theil. Jedenfalls danken wir diesen Männern den Satz von der Winkelsumme des ebenen Dreiecks, wie den bekannten Magister Matheseos. Ueber die Art und Weise, wie man zu diesen Theoremen gelangt sein könnte, stellt der Verfasser geistreiche Untersuchungen an; da er aber hierbei stets des der pythagorischen Schule eigenthümlichen mathematischen Experimentirens gedenkt, so hätte er doch wohl auch -- wovon übrigens die Recension schweigt -- des Mannes erwähnen sollen, der zuerst die Aufmerksamkeit der Historiker auf diese Thatsache gelenkt hat (Cantor, Mathematische Beiträge zum Culturleben der Völker, S. 92). Bezüglich des eigentlich sogenannten pythagoräischen Lehrsatzes vertritt Hankel die vom Referenten bereits früher geäusserte Ansicht, dass sein Erfinder zuerst am Dreieck 3, 4, 5 ihn wahrgenommen, seine Wahrnehmung am gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke geprüft und sich so schliesslich zur Erkenntniss der Allgemeingültigkeit emporgeschwungen habe. Cantor dagegen vermuthet, in Rücksicht suf die Schrift des Philippus Opuntius über die Polygonalzahlen, dass Pythagoras auf arithmetischem Wege jene Wahrheit erkannt habe, eine Anschauung, welcher bereits im Jahre 1833 Wurm Ausdruck gegeben hatte. Berücksichtigt man noch die Angabe, dass die Pythagoräer sich auch mit der berühmten Aufgabe der Anlegung von Flächen beschäftigten, so kann man mit Hankel den Gesammtumfang ihrer geometrischen Kenntnisse dahin präcisiren: Sie wussten Alles, was sich in den beiden ersten Büchern des Euklid vorfindet. Arithmetisch-geometrischer Natur ist die bekannte Construction rationaler rechtwinkliger Dreiecke und die Conception des Begriffs der Irrationalität; jedoch bezieht sich derselbe, wie Hankel ausdrücklich anmerkt, nur auf quadratische, nicht aber auch auf höhere Irrationalitäten. Für die Geschichte der Arithmetik wichtig ist die Lehre von dem ``\(\grave\alpha\varrho\iota\vartheta\mu \grave o\varsigma\) \(\acute \varepsilon \tau\varepsilon\varrho o\)-\(\mu\acute \eta \kappa \eta \varsigma\)'' (2, 6, 12, 20, 30\(\ldots\)), die Erfindung der harmonischen Proportion und die Erfindung der harmonischen Proportion und die Bestimmung der Tonintervalle. Auch die arithmologisch-mystischen Neigungen jener Richtund bleiben nicht unbesprochen; hierbei macht Hankel die glückliche Conjektur, dass die Begriffe \textit{Quadrat} und \textit{Heteromekie}, deren Stellung unter den Kategorieen des Aristoteles eine ziemlich unklare war, wohl nur den Gegensatz von \textit{Rational} und \textit{Irrational} festlegen sollten. Es folgt die Charakteristik des Hippocrates, welcher bei seinem Versuche, den Kreis durch die nach ihm benannten Monde zu quadriren, zuerst ähnliche Figuren betrachtete, dann eine Geschichte der Kreisquadratur, welche besonders von den philosophischen Bedenken, die man sich über die Lösbarkeit dieses Problems machte, ausführlich Rechenschaft giebt. Hankel zeigt, wie aus dieser Schlusskette die von Archimedes mit hoher Meisterschaft allnthalben angewandte Exhaustionsmethode resultirte. Vortrefflich ist das Wessen Plato's geschildert, der zwar auch die Wissenschaft selbst förderte (Rationale Dreiecke, Würfelverdoppelung etc.), jedoch auch besonderes Gewicht darauf legte, derselben durch strenge Definitionen eine sichere logische Basis zu ertheilen. Aufh über das Wesen der dem Plato zugeschriebenen, gewiss aber unbewusst schon vor ihm verwendeten analytischen Methode finden sich hier gründlichere Angaben als irgendwo anders; Hankel zerlegt in diesem Sinne einige elementar-geometrische Aufgaben und fügt sorgfältig den \(\delta \iota o \varrho \iota \sigma \mu \acute o \varsigma\) (determinatio) bei, über dessen Wesen eine Aeusserung von T. Müller (Terminologie der griechischen Mathematiker, S. 4) eigenthümliche Perspektiven eröffnet. Die nun folgende Partie über die Erfindung der Kegelschnitte und anderer für das delische Problem wichtigen krummen Linien ist im Wesentlichen nach Bretschneider gearbeitet; zu erwähnen möchte sein, dass jener Hippias, der die Quadratrix erdachte. doch wahrscheinlich, gegen Hankel's Anicht, mit dem Sophisten gleichen Namens identisch ist, wie dies Cantor und Curtze (diese Fortschr. IV. p. 24, JFM 04.0024.03) darthun. VI. \textit{Allgemeine Arithmetik, Algebra und unbestimmte Analytik der Griechen.} Dieses Kapitel handelt ausschliesslich von Diophant. Nachdem die geringfügigen persönlichen Daten über diesen ausgezeichneten Mann beigebracht sind, wird dargelegt, über einen wie ungenügenden formellen Apparat derselbe verfügte, um die massenhaften Problemlösungen zu erzwingen, die wir in seinen ``\(\grave\alpha \varrho \iota \vartheta \mu \eta \tau \iota \kappa \acute \alpha\)'' bewundern. Mehrere seiner Aufgaben werden in extenso vorgeführt und dabei praktisch gezeigt, wie Diophant's Talent weniger im Schaffen neuer Methoden als vielmehr in der Kunst besteht, sich seiner Vorlage anzuschmiegen und auf Umwegen zum Ziele zu gelangen. Es wird aufmerksam gemacht auf das überall hervortretende Unvermögen der Griechen, sich von den mehrfachen Lösungen einer Aufgabe eine Vorstellung zu machen, auch wird sehr richtig bemerkt, wie unrichtig es sei, unsere gewöhnliche unbestimmte Analytik als diophantische zu bezeichnen, da doch jener Arithmetiker nie auf ganzzahlige, sondern nur auf rationale Lösungen Gewicht legt. Hoffentlich wird diese schöne Studie über Diophant die Lust beleben, die so äusserst gründliche Darlegung des Inhaltes seiner Hauptwerke bei Nesselmann (Alg. d. Griechen, S. 243--476) zu studiren. VII. \textit{Mathematik der Inder.} Dieses Capitel ist, wie auch Cantor hervorhebt, unstreitig der Glanzpunkt des Werkes. Die umfassende Darstellung zu excerpiren, kann hier nicht unsere Aufgabe sein. Bei Gelegenheit der Auflösung der Gleichung \[ ax + by = c \] in ganzen Zahlen wird darauf hingewiesen, dass die indische \textit{Zerstäubungsmethode} eigentlich darin bestehe, den Bruch \(\frac{a}{b}\) in einen Kettenbruch zu verwandeln und dessen vorletzten Näherungswerth zu berechnen (vergl. auch die Abhandlung des Referenten im Boncompagni Bull. VII.). Sehr instructiv ist die vollständige Durchrechnung einer chronologischen Aufgabe. Die Gleichung \[ ay^2+b=x^2 \] wurde vermittelst der sogenannten \(cyklischen\) Methode gelöst; dies Verfahren hat allerdings schon Arneth (Gesch. d. Math. S. 162) beschrieben, aber Hankel macht die interesante Bemerkung, dass Lagrange genau dasselbe Verfahren selbstständig gefunden habe. Meisterhaft sind ferner die Divinationen durchgeführt, wie wohl die bekanntlich alle Definitionen und Beweise verschmähenden Inder ihre geometrischen Lehrsätze gefunden haben mögen; Hankel glaubt aus ihren Leistungen zwei hodegetische Principien, das der Congruenz, beziehungsweise Symmetrie, und das der Aehnlichkeit, herauslesen zu können. VIII. \textit{Geschichte der Mathematik bei den Arabern.} Hierüber ist bereits (s. F. d. M. IV. p. 5) berichtet worden. Bezüglich einzelner Daten scheinen die hier gewiss nicht zu umgehenden Untersuchungen Steinschneider's nicht genug berücksichtigt worden zu sein, was auch der Arbeit Reklamationen von Seite Brandely's (s. F. d. M. V. p. 7) zugezogen hat. Einen Irrthum bezüglich \(befreundeter\) Zahlen berichtigt Cantor. IX. \textit{Mathematik der Römer.} Hauptsächlich eine treue Schilderung der vom rein mathematischen Standpunkte aus so unerquicklichen Gromatik, wobei besonders die Schilderung des namengebenden Messinstrumentes, der \textit{stella} oder \textit{groma}, für Viele neu und interessant sein wird. X. \textit{Mittelalter. I. Periode.} Bis zum Anfang des \(12^{\text{ten}}\) Jahrhunderts. Es werden besprochen die Leistungen Isidor's, Alkuin's, der Lehrplan der von Karl dem Grossen in's Leben gerufenen Schulen, das Quadrivium etc. Länger verweilt der Verfasser bei Gerbert und seinen Schülern, wobei ein Brief Adelbold's an Gerbert Gelegenheit bietet, den niedrigen Standpunkt mathematischer Schlussfähigkeit in jener Zeit an einem prägnanten Beispiele in's Licht zu stellen. Der Abakus und seine trockene Gebrauchsanweisung finden eine wahrhaft liebevolle Darstellung, und es gelingt die anscheinend unentwirrbare Complication dieser Rechnungsmethoden durch die Wahrnehmung durchsichtig zu machen, dass das Hauptgewicht von den im Rechnen ungeübten Mönchen auf \textit{möglichste Einfachheit jeder einzelnen numerischen Operation} gelegt wurde. In der berühmten Streitfrage über den Ursprung der Ziffern steht Hankel auf Seite Friedlein's und polemisirt in einer unseres Erachtens unzulässigen Weise gegen Cantor's Hypothesen. Dies giebt Letzterem Gelegenheit, einen Theil der von ihm früher aufgestellten Ansichten, den babylonischen Aufenthalt des Pythagoras u.a. betreffend, zurückzunehmen, wogegen er die von Hankel ebenfalls angezweifelte ägyptische Studienreise dieses Mannes um so bestimmter aufrecht erhält. Auch hat Cantor sich bezüglich der in der Boëthius-Frage zwischen ihm und Hankel obwaltenden Meinungsverschiedenheit klar und bestimmt ausgesprochen. XI. \textit{Mittelalter. II. Periode.} Vom Anfang des \(12^{\text{ten}}\) bis Mitte des \(15^{\text{ten}}\) Jahrhunderts. Kurzer geschichtlicher Ueberblick über das Zeitalter der Uebersetzungen und der Aneignung arabischer Wissenschaft. Plato v. Tivoli, Atelhart, Gherardus Cremonensis, die Protektoren Friedrich II. und Alfons X. finden hier ihre Stelle; ausführlich aber wird natürlicherweise die Darstellung erst bei dem ersten der mittelalterlichen mathematischen Coryphäen, Leonardo Pisano. Es folgen Pacioli, Oresme und Bradwardin. Dass die unter dem Namen \(latitudines\) laufende Coordinatenmethode des zweiten dieser Männer einen allgemeineren Charakter trägt, als Curtze ursprünglich anzunehmen geneigt war, hebt Hankel mit Recht hervor; diese Lehre war nicht nur in Köln, sondern auch in Wien obligatorisch (Kink, Gesch. d. Univ. Wien, 1. Bd. S. 199); in Ingolstadt wurde sie wenigstens vorgetragen (Prantl, Gesch. d. Ludwig-Macim. Univ. 1. Bd. S. 77). Den Schluss des Abschnittes bildet eine Kritik der Arbeiten von Nemorarius und Nicolaus Cusanus -- dessen unverkennbarem Scharfblick übrigens Hankel in keiner Weise gerecht wird (s. F. d. M. V. p. 10) -- und ein culturhistorisch interessanter Essai über den Betrieb der mathematischen Wissenschaften auf deutschen Universitäten in dieser Periode. XII. \textit{Geschichte der Algebra während der Renaissance.} Den grössten Raum in diesem Capitel nimmt die Entdeckungsgeschichte der Auflösung cubischer Gleichungen hinweg, wobei aber Hankel noch der älteren unrichtigen Ansicht folgt, den Cardan als Verbrecher hinzustellen (s. Curtze in Schlömilch's Zeitschr. XX. S. 59). Dann folgt noch eine kurze Analyse der Arbeiten Vieta's, van Roomen's und Bürgi's -- Hankel's Schreibweise Byrg ist unrichtig -- über Winkeltheilung, und ein Auszug aus der \textit{Artis analyticae praxis} von Harriot. Ein erster Anhang bringt ein an neuen Ansichten reiches Fragment über Euklid und seine Elemente, ein zweiter aphoristische Notizen über chinesische Mathematik. Dies eine kurze Inhaltsangabe eines Werkes, dessen Nichtvollendung von allen Freunden mathematish-historischer Forschung betrauert wird.