Sur la réduction des formes bilinéaires. (Q1558558)

Der erste (JFM 06.0070.01) der angegebenen Aufsätze enthält eine Ankündigung der Ableitungen und Resultate des zweiten (JFM 06.0070.02), der dritte eine Vertheidigung derselben gegenüber einer Besprechung von Seiten des Herrn Kronecker. -- Die bilineare Form \[ P=\sum\varDelta_{\alpha\beta}x_\alpha y_\beta, \;\;(\varDelta_{\alpha\beta} = \varDelta_{\beta\alpha}; \;\alpha,\beta=1,2\cdots n) \] kann auf unendlich viele Arten in die \textit{kanonische Form} \[ \xi_1\eta_1+\cdots+\xi_m\eta_m \] gebracht werden. Als erstes Problem wird aufgestellt: \(P\) soll durch orthogonale Substitutionen auf eine einfache kanonische Form reducirt werden; als zweites: er sollen für die \(x\) und \(y\) simultane, aber sonst beliebige Substitutionen angewendet werden; als drittes: zwei Polynome \(P\) und \(Q\) sollen durch beliebige, auf beide Reihen der Veränderlichen getrennt zu vollbringende Substitutionen gleichzeitig auf kanonische Formen gebracht werden. An diese Arbeit und deren Ankündigung schloss sich eine Discussion zwischen dem Herrn Verfasser und Herrn Kronecker, aus der ich folgendes hervorheben zu müssen glaube. Das erste, von Herrn Jordan für neu gehaltene Problem sei ein bekannter Specialfall des dritten; die Lösung des zweiten sei verfehlt; die des dritten unzureichend. Dieses letzte Hauptresultat lautete: ``Wenn die Determinante zweiier bilinearen Formen identisch Null ist, so kann man sie auf die Formen \[ P=x_1y_1+\cdots+x_{m-1}y_{m-1}+P', Q=x_2y_1+\cdots+x_my_{m-1}+Q' \] bringen, wo \(P'\) und \(Q'\) die Veränderlichen \(x_1,y_1,\cdots x_m,y_m\) nicht mehr enthalten.'' Die Richtigkeit der beiden ersten Einwürfe giebt Herr Jordan zu; die des letzten bestreitet er. Aber mit Unrecht. Denn betrachtet man das Beispil des Herrn Kronecker in der Form, wie es in der Arbeit \textit{Ueber die congruenten Transformationen u.s.w.}, Sep.-Abdr. S. 28 Anm. (s. p. 75) gegeben ist, so erkennt man, dess eine Reduction des von Herrn Jordan überschenen Specialfalles von \S 12 auf \S 9 nicht möglich ist, weil sonst die eine der zu beseitigenden Veränderlichen bei der Beseitigung der andern wieder zum Vorschein kommt. Ebenso lassen sich, wie Referent durch gütige Mittheilung des Herrn Kronecker erfahren hat, einfache Beispiele bilden, aus denen das Ungenügende der Ableitungen in \S 14 u. 15 hervorgeht. Dieselben zeigen sogar, dass das Zwischenresultat in \S 16 auf welches sich die weitere Reduction gründet, unrichtig sei. Es wird hiernach also wohl nicht nöthig erscheinen, auf die Details der vorliegenden Arbeit einzugehen.