On binary and ternary quadratic forms. (Q1558654)

Für die binären positiven Formen \({\mathfrak (a,f,b)}\) der Invariante \({\mathfrak ab-f^2=F}\) wird die Reductionsbedingung eingeführt \({\mathfrak f\overset{=}< 0,-f\overset{=}<a}\) oder \({\mathfrak b}\). Drei Formen, \(\mathfrak{(a,f,b,),\;(b,g,c),\;(c,h,a)}\) entsprechen der Bedingung: dabei sind \(\mathfrak{c,g,h}\) durch \(\mathfrak{a+h+f=0,\;b+f+g=0,\;c+g+h=0}\) definirt. Die drei Formen gehen durch die Substitution \((0,1,-1,1)\) cyklisch auseinander hervor. Die Reductionsbedingung wandelt sich dann in die um, dass keine Zahl \(\mathfrak{g,h,f}\) positiv ist. Zerlegt man \(\mathfrak{(a,b,c)}\) in complexe Factoren \[ (\varrho x+\sigma y)\;(\varrho x+\sigma' y), \] und setzt \[ \varrho=\xi+\xi_1i,\;\sigma=\eta+\eta_1i, \] so wird \[ \xi^2+\xi_1^2=\mathfrak{a},\;\xi\eta+\xi_1\eta_1=\mathfrak{f},\;\eta^2+\eta_1^2=\mathfrak{b}. \] Bei der indifferenten Form \((\mathfrak{a,f,b})\) erhält man dagegen \[ \xi^2-\xi_1^2=a,\;\xi\eta-\xi_1\eta_1=f,\;\eta^2-\eta_1^2=b. \] Sind für \(f=\mathfrak{(a,f,b)}\) und \(\mathfrak{F}=(a,k,b)\) die \(\xi\) und die \(\eta\) dieselben, so heissen die Formen entsprechende. Die indifferente Form heisst reducirt, wenn die entsprechende positive es ist, sofern deren mittlerer Coefficient \(=0\) werden kann. Es werden die von Gauss aufgestellten geometrischen Deutungen durchgeführt; die Reihe äquivalenter reducirter Formen wird durch eine endliche sich periodisch unendlich oft wiederholende Anzahl solcher Formen gebildet u. s. w. -- Bei den ternären positiven Formen \[ f=\mathfrak{a}x^2+\mathfrak{b}y^2+\mathfrak{c}z^2+2\mathfrak{g}yz+2\mathfrak{h}zx+2\mathfrak{f}xy \] werden neue Coefficienten durch die Gleichungen \[ \mathfrak{a+b+h+f=0,\;b+m+f+g=0,\;c+n+g+h=0,\;d+l+m+n=0} \] eingeführt. Reductionsbedigungen sind, dass keine der Zahlen \(\mathfrak{g,h,f,l,m,n}\) positiv sein soll. Es sind stets gleichzeitig 24 Formen reducirt; sind es mehr, so ist die Anzahl ein Vielfaches von 24; dann können nicht alle Zahlen \(\mathfrak{g,h,\cdots n}\) von Null verschieden sein. Für \(\mathfrak{g=l=0}\) sind \(3\cdot 24\), für \(\mathfrak{h=f=0}\) sind \(6\cdot 24\) reducirt. Bezeichnet \((\mathfrak{a})\) die Strecke, deren Projectionen auf die Axen \(\xi,\xi_1,\xi_2\) sind u. s. w., so drückt die Form nach den Gauss'schen Festsetzungen das Quadrat einer Strecke \[ x({\mathfrak{a}})+y({\mathfrak{b}})+z({\mathfrak{c}}) \] aus, wo \[ \xi^2+\xi_1^2+\xi_2^2=\mathfrak{a},\cdots;\;\eta\xi+\eta_1\xi_1+\eta_2\xi_2=\mathfrak{g},\cdots \] ist. Alle ganzzahligen \(x,y,z\) geben ein System parallelepipedisch geordneter Punkte; das Tetraeder, welches die aufeinanderfolgenden Kanten \(\mathfrak{(a)(b)(c)}\) hat, besitzt als sechsfaches Volumen \(\sqrt{\mathfrak{F}}\). Bei ternären indifferenten Formen \(\mathfrak{F}\) erhält man \[ \xi^2-\xi_1^2-\xi_2^2=a,\cdots;\;\eta\xi-\eta_1\xi_1-\eta_2\xi_2=g,\cdots, \] so dass auch hier der Begriff entsprechender Formen und weiter die Definition einer reducirten indifferenten Form gegeben ist. Das Entsprechen der Formen kann nun auf unendlich viele Arten geschehen. Setzt man z. B. \(\xi=0\) und nimmt \(\xi_1,\xi_2\) als willkürliche Veränderliche, so erhält man für den Punkt \(\xi, \xi_1,\xi_2\) alle Lagen auf einer Schale des Hyperboloids \(\xi^2-\xi_1^2-\xi_2^2=a\). Zu jedem Punkte gehört eine reducirte Schaar \(f'\). Die Schale zerfällt in Felder derart, dass für alle Punkte eines Feldes dieselbe Form \(f'\) reducirt ist, während an den Grenzen veränderliche Coefficienten \(\mathfrak{g',h',\cdots}\) in dieser Form \(=0\) sind. Die Ecken der Felder sind dann nach den obigen Auseinandersetzungen entweder solche, bei denen \(\mathfrak{g=l=0}\) ist, \textit{Spaltungspunkte}, oder solche, bei denen \(\mathfrak{h=f=0}\) ist, \textit{Kreuzungspunkte}. Bei der ersteren Art treffen sich drei Grenzlinien und enden dort, bei der andern sechs, die sich durchkreuzen. Um den Punkt \(\mathfrak{g=h=f=0}\) leigen 9 Felder. Die Formen der zunächst auf beiden Seiten der Linie \(\xi=0\) gelegenen Felder stimmen numerisch mit einander überein; dadurch wird sie eine Axe der Symmetrie, welche man nicht zu überschreiten braucht, um alle Felder zu erkennen. Es werden nun die Fälle besprochen, in welchen 2 numerisch mit einander übereinstimmende Formen demselben Felde oder zwei längs einer Linie aneinandergrenzenden Feldern angehören können, und durch eine Regel zur Auffindung der Felder wird die Möglichkeit gezeigt, über die Aequivalenz ternärer quadratischer Formen zu entscheiden, und alle Substitutionen aufzustellen, durch welche sie in diesem Falle in einander übergehen. Bezeichnet man die zu \(f\) adjungirte Form mit \(\mathfrak{F}\), und deren Coefficienten mit \(\mathfrak{A,B,\cdots K}\), so hätte die Eintheilung in Felder auch nach \(\mathfrak{F}\) statthaben können; die Kreuzungspunkte bleiben dieselben und die durch diese gehenden neuen sechs Grenzlinien liegen zwischen je zweien alten. Bei Erfüllung der Bedingung \(\mathfrak{h=f=0}\) steht \(\mathfrak{(a)}\) senkrecht auf der Ebene \(\mathfrak{(A)}\). Bezeichnet man nun den Kreuzungspunkt \(\mathfrak{h=f=0}\) nach den Werthen \(a_1\) und \(A_1\), die für ihn \(a\) und \(A\) (die ersten Coefficienten von \(\mathfrak{F}\) und der adjungirten Form \(F\)) annehmen mit \(\frac{a_1}{A_1}\), so kann man alle diejenigen Kreuzungspunkte als dem Gebiete von \(A=A_1\) angehörig betrachten, bei denen eine Linie \[ f(1,\alpha_1,\alpha_2)=\mathfrak{(a)+\alpha_1(b)+\alpha_2(c)} \] auf \((A)\) senkrecht steht. Ist \(A>0\), so liegen sämmtliche Kreuzungspunkte auf einem durch eine Ebene abgeschnittenen und von einer Ellipse begrenzten, ist \(A<0\) von 2 Hyperbelästen begrenzten Stück der Hyperboloidschale. Ihre Anzahl ist im ersten Falle endlich, im zweiten unendlich gross. Ist hier für ein gegebenes \(A=A_1\) das \(a=\mathfrak{F}(\alpha_1\alpha_1\alpha_2)\) veränderlich, so kann man auch ein Gebiet \(a=a_1\) festsetzen, welches alle Kreuzungspunkte \[ \frac{a_1}{A_1}=\frac{a_1}{F_1(1,\mu,\nu)} \] umfasst, für alle möglichen Werthe von \(\mu, \nu\), für die \(\mathfrak{(a_1)}\) auf [\(\mathfrak{F_1}(1,\mu\nu)\)] senkrecht stehen kann. Für diese Gebiete lassen sich nun Räder und Ecken, äusserste Kreuzungspunkte, welche die betreffende Bedingung erfüllen, definiren, und statt der Eintheilung der Schale in viele Felder kann man die in weniger Gebieten positiven Coefficienten \(A\) oder \(a\) vorziehen. Ausser den bereits oben erwähnten Substitutionen, welche eine reducirte Form in sich selbst transformiren, und die nur möglich sind, wenn ihr Feld mit sich selbst nach einer Vertauschung unter \(a,b,c,d\) oder mit einem unmittelbbar benachbarten zusammenfällt, giebt es noch unendlich viele, indem durch jedes neue Feld, für welches eine mit \(\mathfrak{F}\) numerisch übereinstimmende Form reducirt ist, eine neue solche Substitution bestimmt wird. Diese letzte kann aus jenen und gewissen anderen zusammengesetzt werden, welche einen möglichst einfachen Uebergang von einem der Felder zum andern vermitteln sollen. Hierfür werden Beispiele gegeben. Bei den Formen, durch welche sich 0 rational darstellen lässt, bleibt die Definition reducirter Formen und die Eintheilung in Felder und Gebiete bestehen; von den Zahlen \(g,h,k,l,m,n\) können 4 gleich Null werden, und die Felder solcher reducirter Formen können bis in's Unendliche reichen.