Answer to the preceding letter. (Q1558746)

Durch Differentiation folgt direct die Richtigkeit der Formeln \[ \begin{aligned} \int\sin^{n-1} xe^{(n+1)ix}dx&= \frac{1}{n}\sin^n xe^{nix}\\ \int\cos^{n-1} xe^{n+1)ix}dx&=- \frac{i}{n} \cos^nxe^{nix}, \end{aligned} \] deren reelle Zerlegung 4 Resultate giebt, die Euler auf längerem Wege herleitet. Einige neue Formeln erhält man durch Differentiation der vorstehenden nach \(n\). Aus jenen, von Liouville aufgestellten, gewinnt Besge weiter die folgende: \[ \int_0^1\sin x\cdot e^{ix}\varphi(y\sin x\cdot e^{ix})dy= \int_0^x e^{2ix}\varphi(\sin x\cdot e^{ix})dx, \] welcher, wie leicht erhellt, eine zweite analog ist, und wo \(\varphi(t)\) entwickelbar nach Potenzen von \(t\) sein muss.