On quadrature formulas. (Q1558751)

Es wird die Aufgabe gelöst, das folgende Integral in der Form \[ \int_{-1}^1 F(x)\varphi(x)\partial x=k[\varphi(x_1)+ \varphi(x_2)+\cdots \varphi(x_n)]+R \] der Art approximativ darzustellen, dass \(k,x_1,x_2,\cdots x_n\) unabhängig von der Function \(\varphi\) dem kleinsten möglichen Werthe von \(R\) entsprechend bestimmt werden, eine Aufgabe, die von Hermite für \(F(x)= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) gelöst war. Die Möglichkeit wird vorausgesetzt und bleibt unbewiesen, indem die Gesuchten nur aus der Annahme \[ \varphi(x)= \frac{1}{z-x} \] berechnet werden so, dass \(R\) in der Entwickelung nach absteigenden Potenzen von \(z\) nur niedere als \((-n-1)\)te Potenzen enthält. Setzt man \[ f(z)= (z-x_1)(z-x_2)\cdots (z-x_n), \] woraus \[ \varphi(x_1)+ \varphi(x_2)+\cdots \varphi(x_n)= \frac{f'(z)}{f(z)}, \] so ergiebt sich für \(z=\infty\) sogleich: \[ k=\frac{1}{n} \int_{-1}^1 F(x)\partial x \] und durch Integration der Urgleichung nach \(z\): \[ \int_{-1}^1 F(x)\log(z-x)\partial x=k\log\frac{f(x)}{C}+R_1,\tag{2} \] wo \(R_1=\int_\infty R\partial z\) nur niedere als \((-n)\)te Potenzen enthält, so dass es auf Bestimmung der ganzen Function \(n\)ten Grades \(f(z)\) ohne Einfluss ist. Demnach ist \(f(z)\) die in der Entwickelung von \[ Ce^{\frac{1}{k}\int_{-1}^{+1} F(x)\log(z-x)dx} \tag{3} \] nach absteigenden Potenzen von \(z\) enthaltene ganze Function. Setzt man diese \(=0\), so erhält man als Wurzeln der Gleichung die Grössen \(x_1,x_2,\cdots x_n\). Für \(F(x)= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) findet man hieraus leicht: \[ k=\frac{\pi}{n}; \quad f(z)=\text{ganzer Theil von }\Biggl(\frac {z+\sqrt{1-z^2}}{2}\Biggr)^n= \frac{\cos(n\arccos z)}{2^{n-1}} \] übereinstimmend mit Hermite. Für \(F(x)=1\) wird \[ k=\frac{2}{n}; \quad f(z)=\text{g. Th. v. }(z+1)^{\frac{n(z+1)}{2}} (z+1)^{-\frac{n(z-1)}{2}} \] in der Entwickelung identisch mit \[ z^ne^{-\frac{n}{2.3z^2}- \frac{n}{4.5z^4}- \frac{n}{6.7z^6}-\cdots} \] Hieraus sind die Werthe berechnet für \(-x_h= x_{n-h+1}\): \[ \begin{matrix} h \strut& \vrule &h=1 &\vrule &h=2 &\vrule &h=3 &\vrule &h=4\\ \kern-1em\rlap{\hbox to 25em{\strut\hrulefill\strut}} &\vrule\\ 2 \strut&\vrule &0,816479 &\vrule &&\vrule &&\vrule\\ 3 \strut&\vrule &0,707166 &\vrule &0 &\vrule &&\vrule\\ 4 \strut&\vrule &0,794622 &\vrule &0,187597 &\vrule &&\vrule\\ 5 \strut&\vrule &0,832437 &\vrule &0,374542 &\vrule &0 &\vrule\\ 6 \strut&\vrule &0,866249 &\vrule &0,422540 &\vrule &0,266603 &\vrule\\ 7 \strut&\vrule &0,883854 &\vrule &0,529706 &\vrule &0,323850 &\vrule &0 \end{matrix} \] Verglichen mit der Gauss'schen Approximationsform, welche diesem Fall entspricht, schreibt der Verfasser der seinigen grössere Genauigkeit zu, sobald die beobacheten Functionswerthe unbekannte Fehler enthalten. Die Formel wird indess unbrauchbar, wenn \[ \int_{-1}^1 F(x)\partial x=0 \] ist, z. B. für \(F(x)=x\). Hier ändert der Verfasser die Entwickelungsform dahin ab, dass er \[ \int_{-1}^1 F(x)\varphi(x)\partial x=k[\varphi(x_1)+\cdots \varphi(x_n)-\varphi(x_{n+1})- \varphi(x_{2n})]+R \] setzt. Das Verfahren ist dasselbe. Statt der Gleichung (2) erhält man: \[ \int_{-1}^1 F(x)\log(z-x)\partial x=k\log \frac{f_0(z)}{f_1(z)}+R_1, \] wo \[ f_0(z)= (z-x_1)\cdots (z-x_n)\quad f_1(z)= (z-x_{n+1})\cdots (z-x_{2n}) \] gesetzt ist. Man hat alsdann \(\frac{f_0(z)}{f_1(z)}\) als Näherungsbruch des Kettenbruchs zu bestimmen, in welchen das Integral (3) zu entwickeln ist. Der Coefficient von \(\frac{1}{z}\) im vollständigen Ausdruck dieses Quotienten \(=0\) gesetzt, giebt die Gleichung für \(k\), nach dessen Einsetzung in zwei Terme des Näherungsbruchs man die gesuchten Functionen \(f_0(z)\), \(f_1(z)\) erhält. Die Rechnung wird dann ausgeführt für \(F(x)=x\), \(n=1\) und 2, dann für \[ F(x)= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. \]