On the interpolation of equidistant quantities. (Q1558842)

Wenn man eine Function \(f(x)\), deren Werthe für \[ x=1,2,...(m-1) \] bekannt sind, in der Form eines ganzen Polynoms nach der Methode der kleinsten Quadrate darstellen will, so erhält man, wie der Verfasser in einer früheren Arbeit gezeigt (Petersb. Gel. Anz. 3, und Liouville J. (2) 3) für das gesuchte Polynom \(f(x)\) folgenden Ausdruck: \[ f(x)=\frac {\sum_1^m \varphi_0 (x)f(x)}{\sum_1^m \varphi_0^2(x)}\varphi_0 (x)+\frac {\sum_1^m \varphi_1 (x) f(x)}{\sum_1^m \varphi_1^2 (x)} \varphi_1 (x)+\dotsm+ \frac {\sum_1^m \varphi_l (x)f(x)}{\sum_1^m \varphi_l^2 (x)}\varphi_l (x), \] wo \(l\) den Grad des Polynoms, und \(\varphi_0 (x),\varphi_1 (x)...\varphi_l (x)\) die Nenner der Näherungswerthe in der Entwickelung der Summe \[ \sum_{h=1}^{h=m} \frac 1{x-h} \] in einen Kettenbruch von der Form \[ \frac{C_1}{A_1x+B_1}_{\displaystyle+\frac{C_2}{A_2x+B_2}_{\displaystyle \,+_{\displaystyle\ddots\,,}}} \] bezeichnen. In der gegenwärtigen Arbeit giebt der Verfasser eine Umformung der obenerwähnten Formel, indem er von einem Ausdruck der Function \(\varphi_n (x)\) in der Form einer Differenz \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, dem Ausdrucke der Legendre'schen Function \[ X_n =\frac 1{2\cdot 4\dotsm 2n}\frac {d^n (x^2 -1)^n}{dx^n} \] vollkommen analog, ausgeht. Als endliches Resultat wird ein einfaches, der Praxis sehr empfehlenswerthes Verfahren gegeben, die Werthe von \(F(1),\;\varDelta F(1),\;\varDelta^2 F(1),...\) zu berechnen. Auch für den Fall, wo die gegeben Werthe von \(f(x)\) verschiedene Gewichte haben, sind analoge Formeln aufgestellt.