Remarks on cylinder functions (Q1558884)

Herr Lommel hat in seinen Studien über die Bessel'schen Functionen (Leipzig, 1868, p. 5, s. F. d. M. I. p. 139, JFM 01.0139.03) für den Quotienten \(\frac {J_z^{\nu +1}}{J_z^\nu }\) folgende Kettenbruchentwickelung gegeben \[ \frac{J^{\nu+1}_z}{J_z^{\nu}}=\frac{z}{2(\nu+1)}_{\displaystyle-\frac{z^2}{2(\nu+2)}_{\displaystyle{-\frac{z^2}{2(\nu+3)}_{\displaystyle-\,\cdots}}}} \] Dieser rechts stehende Kettenbruch soll, ohne Rücksicht auf seine Entstehung, summirt werden. Zu dem Ende wird derselbe in die Form \[ z\,\frac{J^{\nu}_z}{J_z^{\nu+1}}=2(\nu+1)-\frac{z^2}{2(\nu+2)}_{\displaystyle- \frac{z^2}{2(\nu+3)}_{\displaystyle-\,\cdots}} \] transformirt, und auf diesen eine von Herrn Spitzer (Grunert Arch. XXX, p. 332) gegebene Summirungs-Methode angewendet, die auf die Lösung einer Functionalgleichung von der Form \[ z^2 f_{\nu + 2} - 2(\nu +1) f_{\nu +1} + f_\nu = 0 \] hinausläuft.