On projective geometry. (Q1559011)

In dieser Abhandlung beabsichtigt der Verfasser die projectivischen Eigenschaften der Figuren in einer von v. Staudt abweichenden Weise mit Hilfe der von Moebius in seinem ``Barycentrischen Calcul'' beschriebenen geometrischen Netze abzuleiten, und zwar in dem vorliegenden ersten Theil zunächst die Eigenschaften der Lage. Sind \(a,\;b,\;c\) drei nicht in einer Geraden liegende Punkte, so sind durch dieselben drei Gerade \(bc=f,\;ca=g,\;ab=h\) und die Ebene \(P\) bestimmt. Ist \(p_0\) irgend ein viertel Punkt der Ebene \(P\), so scneiden die Geraden \(p_0^a,\;p_0^b,\;p_0^c\)) die Geradn \(f,\;g,\;h\) in drei anderen Punkten \(a_0,\;b_0,\;c_0,\) durch deren Verbindung drei neue Gerade erhalten werden: \(b_0c_0,\;c_0a_0,\;a_0b_0\); diese schneiden die Geraden \(f,\;g,\;h\) in drei ferneren Punkten \(a^0,\;b^0,\;c^0,\) welche in einer Geraden \(R^0\) liegen. Die so erhaltenen Geraden liefern in ihren gemeinschaftlichen Elementen andere Punkte, durch deren Verbindung andere Gerade, in deren Schnittpunkten wieder andere Punkte bestimmt werden u. s. f. Ein derartiges geometrisches Netz wird nun vom Herrn Verfasser benutzt, um ausgehend von vier festen Fundamentalpunkten \(a,\;b,c,\;p_0,\) durch eine begrenzte oder unbegrenzte Zahl von Constructionen nach einem bestimmten Gesetz die Lage eines beliebigen Punktes \(p\) der Ebene \(P\) zu bestimmen. Durch eine ähnliche Construction kann aus vier durch einen Punkt \(p\) gehenden Fundamentalebenen \(A,B,C,\;P_0\) ein geometrisches Netz erzeugt werden zur Bestimmung einer beliebigen durch \(p\) gehenden Ebene; und ferner durch fünf nicht in einer Ebene liegende Punkte \(a,\;b,\;c,\;d,\;p_0\) oder durch fünf nicht durch einen Punkt gehende Ebenen \(A,\;B,\;C,\;D,\;P_0\) zur Bestimmung irgend eines Punktes oder einer Ebene im Raume. Die Bestimmung einer Geraden wird durch die Bestimmung zweier Punkte oder zweier Ebenen bewerkstelligt. Zwei geometrische Netze werden zu einander in die Beziehung der Dualität oder Homographie (der reciproken oder collinearen Verwandtschaft) gebracht, indem man die Fundamentalelemente einander zuordnet und zwei Elemente als entsprechend bezeichnet, welche nach demselben Gesetz erhalten werden; die bekannte Fundamentaleigenschaft dieser Beziehung wird hieraus abgeleitet. Die oben erhaltene Gerade \(R_0\) wird schliesslich als die Harmonische Gerade des Punktes \(p_0\) in Bezug auf die drei Punkte \(a,\;b,\;c\) definirt und ihre Beziehung zu den Fundamentalpunkten erörtert. Eine ähnliche Definition ergiebt sich für die harmonische Gerade einer Ebene \(P_0\) in Bezug auf drei Ebenen \(A,\;B,\;C,\) welche mit \(P_0\) sich in einem Punkte \(p\) schneiden, für die harmonische Ebene eines Punktes \(p_0\) in Bezug auf vier nicht in einer Ebene liegende Punkte \(a,\;b,\;c,\;d,\) und für den harmonischen Punkt einer Ebene \(P_0\) in Bezug auf vier nicht in einem Punkte sich schneidende Ebenen \(A,\;B,\;C,\;D.\)