The theorem of Feuerbach on the tangent circles of a triangle. (Q1559023)

Der Satz von Feuerbach (Eigensch. einiger merkw. Punkte d. gerald. Dreiecks Nürnberg 1822 S. 38): ``Die vier Kreise, welche die Seiten eines Dreiecks tangiren, werden von demjenigen Kreise berührt, der durch die Mitten der Seiten geht'', von Steiner seiner Zeit wiederholt als interessant hervorgehoben, ist schon vielfach behandelt worden: von Casey (Quart. Journ. IV. 512), Baltzer (Elem. der Math. 3 Aufl. 92, 312), Lappe (Borchardt J. LXXI.387), Schubert (Schlömilch Z. XVI. 83 cfr. jahrb. II. S. 351, III. S. 240). An einer andern Stelle (Borchardt J. LXVIII.208) hat Herr Schröter selbst diesen Satz und andere Eigenschaften der merkwürdigen Dreieckspunkte in projectivischer Verallgemeinerung betrachtet; hier nimmt er wieder den speciellen Fall in elementarer Weise vor. Der Gang seines Beweises ist folgender: Jeder der vier Berührungskreise hat mit den andern je noch eine vierte gemeinsame Tangente; die drei Berührungspunkte \(\alpha_i\;\beta_i\;\gamma_i\) derselben bilden ein mit dem ursprünglichen Dreiecke \(A\;B\;C\) und dem der 3 Mitten \(A_1\;B_1\;C_1\) ähnliches und ähnlich gelegenes Dreieck. Der Aehnlichkeitspunkt von \(\alpha_i\;\beta_i\;gamma_i\) und \(A_1\;B_1\;C_1\) ist es also auch für die beidn umschriebenen Kreise; nun wird mit Hilfe des Satzes von Ptolemäus gezeigt, dass dieser Punkt auf den beiden Kreisen liegt, folglich ist er ihr Berührungspunkt.