On the different shapes of curves of fourth order. (Q1559045)

Die Aufgabe, die sich der Verfasser in dieser Arbeit stellt, die beiprojectivischer Betrachtung wesentlich verschiedenen Formen der Curven viertel Ordnung abzuleiten, wird gelöst durch Betrachtung der Doppeltangenten. Davon werden zwei Arten unterschieden; die der ersten Art berühren denselben Curvenzweig in zwei reellen Punkten oder berühren in zwei imaginären Punkten; die der zweiten Art berühren in zwei Punkten, welche verschiedenen Curvenzweigen angehören. Die Zahl der reellen Wendepunkte ist dann gleich der doppelten Zahl der Doppeltangenten erster Art, welche in reellen Punkten berühren. Ueber die Gesammtzahl der Doppeltangenten erster Art gilt nun der Satz, dass sie bei jeder Curve \(4^{\text{ter}}\) Ordnung ohne vielfachen Punkt vier beträgt, der weiter zeigt, dass die Anzahl der reellen Wendepunkte höchstens acht ist. Je nach der Anzahl der aussereinander befindlichen Zweige einer Curve, die höchstens 4 betragen kann, hat nun die Curve 24, 12, 4, 0 Doppeltangenten zweiter Art und also resp. 28, 16, 8, 4 reelle Doppeltangenten überhaupt. Mit Hülfe des Carnot'schen Theorems und des Satzes, dass die Berührungspunkte einer Doppeltangente erster Art nicht getrennt sein können durch zwei andere Doppeltangenten, ergiebt sich dann der Satz: dass sich die Berührungspunkte von drei Doppeltangenten erster Art auf einem Kegelschnitt befinen; aus dem folgt, dass die Berührungspunkte der vier Doppeltangenten erter Art stets auf einem Kegelschnitt liegen. Hieraus schliesst man, dass die Zweige der Curve sich befinden, entweder in den 4 Dreiecken, oder in den 3 Vierecken, welche die 4 Doppeltangenten erster Art bilden, und dass in jedem dieser 7 Flächentheile nicht zwei Zweige liegen können, von welchen der eine ausserhalb des andern sich befindet. Nun kann eine curve \(4^{\text{ter}}\) Ordnung entweder eine ringförmige sein d. h. aus zwei Zweigen bestehen, von welchen der eine im andern liegt, oder eine dreiseitige, deren drei Zweige in den oben erwähnten drei Vierecken liegen, oder eine vierseiteige, die in jedem der vier Dreiecke einen Zweig hat. Indem man hiermit verbindet die verschiedenen Lagen, welche der Kegelschnitt, auf dem die Berührungspunte der vier Doppeltangenten erster Art liegen, gegen diese Tangenten hat, kommt man zu einer Eintheilung der Curven \(4^{\text{ter}}\) Ordnung ohne Doppelpunkt in 13 Hauptabtheilungen, die wieder in (im Ganzen 36) Arten zerfallen; dass es wirklich Curven jeder Art giebt, wird dann noch besonders bewiesen. Der Verfasser wendet sich sodann zur Betrachtung der Modificationen, die eintreten, wenn die Curve einen Doppelpunkt hat. Solcher werden 5 Arten unterschieden: 1) isolierte Punkte, 2) Punkte, in welchen zwei Zweige zusammenhängen, von welchen einer im andern liegt, 3) Punkte, in welchen Zweige zusammenstossen, die nicht in einander liegen, 4) Schnittpunkte der beiden Theile eines Zweiges, der sich in zwei Theile unpaaren Ordnung theilt, 5) imaginäre Doppelpunkte. In jedem dieser Fälle wird die Reduction der Anzahl der Doppeltangenten erster Art und die Gattungen angegeben, aus welchen sie sich als Grenzgestalten ableiten lassen. Endlich wird die aufgestellte Theorie benutzt, um auf Grund des Geyser'schen Resultates, dass man einem Kegel \(4^{\text{ter}}\) Ordnung Flächen \(3^{\text{tr}}\) Ordnung einschreiben kann, die durch seine Sptze gehen, Eigenschaften der Flächen \(3^{\text{ter}}\) Ordnung herzuleiten. Besonders wird festgestellt, aus wie vielen Mänteln ein solcher Kegel besteht, der einer Fläche \(3^{\text{ter}}\) Ordnung von einem Punkte der Fläche aus umschrieben ist, in den 5 von Schläfli aufgestellten Gattungen der Fläche \(3^{\text{ter}}\) Ordnung, und damit werden dann die Schläfli'schen Theoreme über di eRealität der Ebenen, in welchen drei Gerade der Fläche liegen, bewiesen. Zu bemerken ist hierbei, dass der Verfasser die Namen \(4^{\text{ter}}\) und \(5^{\text{ter}}\) Art von Flächen \(3^{\text{ter}}\) Ordnung umgekehrt wie Schläfli gebraucht. (Siehe auch Zeuthen, Études sur les propriétés de situation des surfaces cubiques Abschn. IX. Cap. 3. C. und Jahrbuch V. p. 316, JFM 05.0316.01).