On self reciprocal objects in the plane and in space. (Q1559057)

Durch Seydewitz wurden (Grunert Arch. VIII. 32 ff.) folgende Sätze gefunden: Liegen zwei reciproke Systeme in derselben Ebene, so giebt es einfach unendlich viele Punkte, die auf den ihnen in dem einen Sinne und in Folge dessen auch auf den ihnen in dem andern Sinne entsprechenden Geraden liegen; diese Punkte erzeugn einen Kegelschnitt \(k^{(2)}\) und die entsprechenden Geraden umhüllen einen zweiten \(K^{(2)}\). Beide haben eine doppelte Berührung. Die Berührungssehnen und ihren Pol scheint Seydwitz für die einzigen sich doppelt entsprechenden Elemente gehalten zu haben. Man sehe auch Reye, Geom. der Lage II. 9. Vortr., Pfaff, Neuere Geometr. (Erlangen 1867) I. Th. No. 93, (vergl. auch Salmon-Fiedler's Anal. Geom. der Kegelschnitte, 2. Aufl. 1866, 3. Aufl. 1873 Art. 379.). Seydewitz hat noch gezeigt, wie die beiden reciproken Systeme in polarreciproke zu verwandeln sind. Herr Schröter beweist im ersten Theile des Aufsatzes diese Sätze nochmals, und zwar, indem er aus den beiden reciproken Systemen zwei Polarreciprocitäten ableitet, wodurch er sich von der Realität der Kegelschnitte \(k^{(2)},\;K^{(2)}\), welche die Kernkegelschnitte (Ordnungscurven) dieser Polarsysteme sind, freimacht; er findet, dass auch jede der beiden gemeinsamen Tangenten von \(k^{(2)}\) und \(K^{(2)}\) ihrem Berührungspunkte doppelt entspricht. Der zweite Theil behandelt das entsprechende Problem im Raume, welches analytisch von Magnus (Lehrs. und Aufg. zur anal. Geom. des Raumes S. 134) bahandelt, von Reye a. a. O. und Pfaff a. a. O. No. 164 nur berührt worden ist. Wenn ein Element (Punkt, Gerade, Ebene)mit dem ihm in dem einen Sinne entsprechenden Elemente incident ist, so ist es auch mit dem im andern Sinne entsprechenden incident.`` Grassmann nennt zwei ungleichartige Elemente incident, wenn das von höherer Dimension das andere enthält, zwei Gerade, wenn sie in derselben Ebene liegen; ihr ``geometrisches Product'' verschwindet dann. Die Erzeugnisse solcher mit ihren entsprechenden Elementen incidenten Punkte und Ebenen sind bez. zwei Flächen \(2^{\text{ten}}\) Grades, die wieder als Kernflächen von Polarsystemen erhalten werden. Ihr Durchschnitt ist ein windschiefes Vierseit, dessen Ecken und Ebenen die einzigen derartigen Elemente sind, für welche die ihnen in beiden Reciprocitäten entsprechenden (überdies mit ihnen incidenten) Elemente sich vereinigen; während die vier Seiten sich in beiderlei Sinne selbst entsprechen, hingegen die beiden Diagonalen gegenseitig. Die Punkt- und Ebenen-Involutionen auf diesen Diagonalen und um sie sind den beiden genannten Polarsystemen gemein. Jede Gerade ferner, welche zwei Punkte verbindet, die derselben Ebene im doppelten Sinne entsprechen, ist zugleich Schnittlinie zweier demselben Punkte entsprechender Ebenen. Alle diese Strahlen (Wechselstrahlen genannt, nach Analogie der Seydewitz'schen Wechselpunkte und Wechselstrahlen zweier ebenen Systeme,) bilden einen tetraedralen Complex (\(2^{\text{ten}}\) Grades), dessen Tetraeder von dem obigen Vierseit gebildet wird. Mit den Aufgaben, die beiden räumlichen reciproken Systeme polarreciprok zu machen, oder in ein Nullsystem zu verwandeln, beschäftigt sich der Verfasser noch nicht; die erstere derselben ist bald darauf nebenbei gelöst in Reye's Aufsatze über algebraische Flächen, die zu einander apolar sind (Borchardt J. LXXIX. 159, spec. Anm. auf. S. 168).