Stability of a dynamical system with two independent motions. (Q1559361)

Von den Bewegungsgleichungen eines Systems, welches mit zwei unabhängigen Bewegungen kleine Oscillationen macht, ausgehend, stellt der Verfasser die biquadratische Gleichung auf, von deren Wurzeln die Natur der Bewegung abhängig ist. Ist die biquadratische Gleichung \[ \varphi(x)+ax^4+ bx^3+ cx^2+ dx^1+ c=0, \] und bezeichnet man \[ {\textstyle \frac12}\left| \begin{matrix} 2a &b &c\\ b &0 &d\\ c &d &2e \end{matrix}\right| \quad \text{mit }X, \] so ergiebt sich als nothwendige und hinreichende Bedingung für die Stabilität des Gleichgewichtes, dass alle Coefficienten von \(\varphi(x)\) und also auch \(X\) dasselbe Vorzeichen haben. Es ergiebt sich aber auch als nothwendige und hinreichende Bedingung, dass jeder Coefficient der Gleichung \(-\varphi( -\frac ba)\) und auch \(X\) positiv sei.