Sulle funzioni bilineari. (Q1559877)

Eine bilineare Form \(f=\sum_{rs}c_{rs}x_ry_s\) kann durch zwei orthogonale Substitutionen \(x_r=\sum_p a_{rp}\xi_p\) und \(y_s=\sum_q b_{sq}\eta_q\) auf die Form \(\varphi=\sum_m \gamma_m\xi_m\eta_m\) gebracht werden. Ist \[ \sum_p c_{rp}c_{sp}=\mu_{rs}\quad \text{und}\quad \sum_p c_{pr}c_{ps}=\nu_{rs}, \] so sind \(\gamma_1^2,c\dots\gamma_n^2\) die Wurzeln der Gleichung: \[ \left|\begin{matrix}\l&\l\\ \mu_{11}-\gamma^2& \cdot\cdot\gamma_{1n}\\ \hdotsfor2\\ \mu_{n1} & \cdot\cdot \gamma_{mn}-\gamma^2\end{matrix}\right|=0\quad \text{oder}\quad \left| \begin{matrix}\l&\l\\ \nu_{11}-\gamma^2 & \cdot\cdot \nu_{1n}\\ \hdotsfor2\\ \nu_{n1} & \cdot\cdot \nu_{nn}-\gamma^2\end{matrix}\right|=0. \] Die Wurzeln dieser beiden Gleichungen, deren linke Seiten in den Coefficienten übereinstimmen, sind nicht nur alle reell, sondern auch positiv. Zur Bestimmung der Substitutionscoefficienten dienen die Gleichungen \[ \begin{aligned} \sum_p\mu_{rp} a_{ps}=\gamma_s^2a_{rs} & \quad\sum_p a_{ps}^2=1\\ \sum_p v_{rp}b_{ps}=\gamma_s^2b_{rs} & \quad\sum_p b_{ps}^2=1.\end{aligned} \] Damit die beiden orthogonalen Substitutionen identisch seien, muss \(c_{rs}=c_{sr}\) sein. Allgemeiner können zwei bilineare Formen \[ f=\sum_{rs}c_{rs}x_ry_s\quad \text{und}\quad f'=\sum_{rs}c_{rs}y_s \] durch die Substitutionen \(x_r=\sum_p a_{rp}\xi_p\) und \(y_s=\sum_q b_{sq}\eta_q\) auf die Formen \(\varphi=\sum_m\gamma_m\xi_m\eta_m\) und \(\varphi'=\sum_m\gamma_m'\xi_m\eta_m\) gebracht werden. Zur Bestimmung der Verhältnisse \(\frac{p_s}{p_s'}=\lambda_s\) dient die Gleichung \(\sum\pm c_{11}-\lambda c_{11}'\dots c_{nn}-\lambda c_{nn}'=0\). Die Verhältnisse der Coefficienten \(a_{rs}\) findet man aus Gleichungen \(\sum_p(c_{pr}-\lambda_s c_{pr}')a_{ps}=0\). Ferner ist \(b_{rs}=\frac{\sum_pC_{pr}' A_{ps}}{C'\cdot A}\), wo \(A_{rs}(C_{rs}')\) der Coefficient von \(a_{rs}(c_{rs}')\) in der Determinante \(A=\sum\pm a_n\cdots a_{nn}\) \((C'=\sum\pm c'_n\cdots c_{nn}')\) ist.