Representation of convergents of continued fractions in independent form. (Q1559923)

Im ersten Capitel giebt der Herr Verfasser eine eingehende Uebersicht der seit Schwenter und Wallis unternommenen, durch die combinatorische Analysis gegangenen, und endlich durch Ramus und Heine zur Benutzung der Determinanten geleiteten Versuche, die Näherungswerthe der Kettenbrüche unabhängig von den früheren Näherungswerthen darzustellen. Im zweiten Kapitel wird diese ``Kettenbruch-Determinante'' hergestellt und auf mannigfache Weise umgeformt; unter anderem derart, dass die Diagonalglieder einander gleich werden und so eine Entwickelung nach Potenzen derselben möglich ist. In gleicher Weise werden dann die aufsteigenden Kettenbrüche behandelt, und endlich wird als Beispiel für den Nutzen dieser Darstellungsweise gezeigt, wie die Summe der Glieder bestimmt werden kann, welche den \(n^{\text{ten}}\) Theilzähler oder Theilnenner eines beliebigen Näherungswerthes ausmachen. Im dritten Kapitel folgen die Anwendungen der gewonnenen Resultate auf Analysis, Algebra und Physik. Zuerst werden die bekannten Lehrsätze über Kettenbrüche abgeleitet, über Transformation derselben, dann die Recursionsformel für die Sinus der vielfachen Winkel, die Umwandlung ganzer Zahlen in Kettenbrüche von gegebener Gliederzahl, die Entwickelung der Wurzeln quadratischer Gleichungen, einige Lehrsätze über \(n\)-fach periodische Kettenbrüche und über solche mit unendlicher Gliederzahl.