Remarks on the form of integrals for linear differential equations with variable coefficients (Q1560008)

Sind \(y_1,\dots, y_n\) \(n\) von einander unabhängige Integrale einer linearen Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung und bezeichnet \((y)'\) das, was aus der Function \(y\) wird, wenn die Variable \(x\) einen gewissen singulären Punkt \(a\) umkreist, so ist \[ y_k'= a_{k_1}y_1+ a_{k_1}y_2+\cdots a_{k_n}y_n. \] Ist dann \(\omega\) eine einfache Wurzel der Gleichung \[ A=\left| \begin{aligned} &a_{11}-\omega, \cdots, a_{1n}\\ &\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\cdot\;\\ &a_{n1} \phantom{\,-\omega},\cdots, a_{nn}-\omega \end{aligned} \right|=0, \] so entspricht ihr einIntegral \(n=\alpha y_1+\beta y_2+\cdots \rho y_n\), welches der Relation \((u)'=\omega u\) genügt. Ist dagegen \(\omega\) eine \(\mu\)-fache Wurzel der Gleichung \(\Delta=0\), so entsprechen ihr, wie Herr Fuchs gezeigt hat, \(\mu\) Integrale \(u_1,\dots, u_\mu\), von der Form \((x-a)^r \varphi,(\omega=e^{2r\pi i})\), wo \(\varphi\) im Allgemeinen eine ganze function \((\mu- 1)^{\text{ten}}\) Grades von \(\log(x-a)\) ist, dren Coefficienten eindeutige Functionen von \(x\) sind. Der Verfasser weist nach, dass diese \(\mu\) Functionen wieder in Gruppen zerfallen, und zwar Gruppen von einem Elemente, von 2 Elementen u. s. w. Die Functionen eienr Gruppe von \(m\) Elementen \(y_1,y_2,\dots y_m\) genügen den Relationen \[ (y_1)'= \omega y_1,\;(y_2)'= \omega y_2+y+1,\;\dots,\;(y_m)'=\omega y_m+ y_{m-1}. \] Ist \(u= \frac{\log(x-a)}{2\pi i}\) und \(f(u)\) eine ganze Function \((m-1)^{\text{ter}}\) Ordnung von \(u\), deren Coefficienten eindeutige Functionen von \(x\) sind, so haben die Functionen einer \(m\)-gliedrigen Gruppe die Form \[ y_m= (x-a)' f(n), y_{m-1}= (x-a)^r \omega\Delta f(u),\dots, y_1=(x-z)^r \omega^{m-1} \Delta^{m-1}f(u), \] wo \(\omega=e^{2r\pi i}\) ist, \(\Delta f(u)\) die Differenz \(f(u+1)- f(u)\) und \(\Delta^k f(u)\) die \(k^{\text{te}}\) Differenz der Function \(f(u)\) bezeichnet.