On the integration of linear differential equations by means of series (Q1560010)

Es wird diejenige von Herrn Fuchs (Borchardt J. LXVI, 146) zuerst untersuchte Klasse von linearen Differentialgleichungen betrachtet, deren sämmtliche Integrale in der Umgebung eines singulären Punktes, für den hier \(x=0\) genommen wird, die Eigenschaft haben, mit einer gewissen Potenz von \(x\) multiplicirt, endlich zu bleiben. Eine solche Differentialgleichung muss bekanntlich die Gestalt haben: \[ P(y)= p(x). x^\lambda y^{(\lambda)}+ p_1(x). x^{\lambda-1} y^{(\lambda-1)}+ \cdots+ p_\lambda(x)y=0, \] wo \(p,p_1,\dots\) nach ganzen positiven Potenzen von \(x\) fortschreitende Reihen bedeuten und \(p(x)\) für \(x=0\) nicht verschwindet. Die Form ihrer Integrale ist (l. e. p. 136) \[ y=x^\rho \sum_{\nu=0}^{\nu=\infty} \{g_\nu^{(\kappa)}+ g_\nu^{(\kappa-1)}\log x+\cdots+ g_\nu(\log x)^\kappa\} x^\nu, \tag{1} \] wo \(\rho\) eine Wurzel der zu \(x=0\) gehörigen ``determinirenden Fundamentalgleichung'' \(f(\rho)=0\) ist. Herr Frobenius stellt sich nun die Aufgabe, die Existenz dieser Integrale, deren Beweis bei Herrn Fuchs auf einer Vergleichung der Gleichung (1) mit einer specielleren Differentialgleichung beruht, aus der ersteren selbst unmittelbar darzuthun. Gleichzeitig ergiebt sich ihm auf diesem Wege eine direkte Berechnung der Coefficienten derjenigen Integrale, in deren Entwickelung im Allgemeinen Logarithmen vorkommen, während nach der Vorschrift des Herrn Fuchs zu ihrer Ermittelung ein Zurückgehen auf Differentialgleichungen niederer Ordnung nothwendig ist. Vermittelst Einführung der Function \[ f(x,\rho)= \rho(\rho-1)\dots (\rho-\lambda+1) p(x)+ \rho(\rho- 1)\dots (\rho-\lambda+2) p_1(x)+\cdots+ p_\lambda(x)=\sum f_\nu(\rho) x^\nu, \] welche für die Coefficienten der Reihe \(y= \sum_\nu g_\nu x^{\rho+\nu}\), welche der Gleichung (1) genügen soll, folgende übersichtliche Gestalt: \[ g_\nu f(\rho+\nu)+ g_{\nu-1} f_1(\rho_\nu- 1) +\cdots+ g_1f_{\nu-1} (\rho+1)+ gf_\nu(\rho)=0, \tag{2} \] wovon die erste \((\nu=0\) entsprechende): \(gf(\rho)=0\) ist und \(\rho\) als Wurzel der erwähnten Fundamentalgleichung bestimmt. Die Herrn Frobenius eigenthümliche Methode besteht nun darin, von dieser ersten Gleichung zu abstrahiren, mithin \(\rho\) variabel zu lassen, jedoch so, dass ihre Veränderlichkeit auf die Umgebungen der Wurzeln \(\rho_1 \dots \rho_\lambda\) beschränkt bleibt. Die Coefficienten \(g_nu\) sind alsdann ebenfalls Functionen von \(\rho\) und die Reihe \[ y=\sum g_\nu (\rho x^{\rho+\nu}= g(x,\rho) \tag{3} \] ist alsdann ein Integral der Differentialgleichung \[ P(y)= f(\rho. g(\rho).x^\rho. \] Nachdem über das willkürlich gebliebene \(g(\rho)\) passend verfügt ist, damit innerhalb des Bereiches von \(\rho\) die Coefficienten \(g_\nu(\rho)\) nicht unendlich werden, wird die Convergenz der Reihe (3) aus der Natur dieser Coefficienten \(g_\nu\) erwiesen und ferner gezeigt, dass eine Differentiation dieser Reihe auch nach \(\rho\) gestattet ist (\S 2). Fasst man nun alle die Wurzeln \(\rho_1,\rho_2,\dots\) in Gruppen zusammen, die sich nur um reelle ganze Zahlen von einander unterscheiden, und ordnet die zu eienr Gruppe gehörigen Wurzeln \(\rho_0, \rho_1,\dots, \rho_\mu\) derart, dass wenn \(\alpha<\beta\), \(\rho_\alpha\geq\rho_\beta\), so findet sich, dass für \(\rho=\rho_\kappa\), \(g(\rho)\) höchstens von der \(\kappa^{\text{ten}}\) Ordnung und \(f(\rho). g(\rho)\) höchstens von der \(\kappa^{\text{ten}}\) Ordnung und \(f(\rho).g(\rho)\) wenigstens von der \(\kappa+1^{\text{ten}}\) Ordnung verschwindet. Differentiirt man nun die identische Gleichung: \[ P(g(x,\rho))= f(\rho). g(\rho). x^\rho \] \(\kappa\) mal nach \(\rho\) und setzt alsdann \(\rho= \rho_\kappa\), erhält man, wenn \(\frac{d^\kappa g(x,\rho)}{d\rho^\kappa}= g^\kappa(x,\rho)\) gesetzt wird, \(P(g^\kappa (x,\rho_\kappa))=0\), also stellt \[ y=g^\kappa (x,\rho_\kappa)= x^{\rho_\kappa} \sum\biggl\{ g_\nu^\kappa (\rho_\kappa)+ \kappa g_\nu^{\kappa-1} (\rho_\kappa)\log x+\frac{\kappa(\kappa-1)}{1.2} g_\nu^{(\kappa-2)} (\rho_\kappa)(\log x)^2+\cdots+ g_\nu(\rho_\kappa) (\log x)^\kappa \biggr\}x^\nu \] das zur Wurzel \(\rho_\kappa\) gehörige Integral der Differentialgleichung \(P(y)=0\) dar, welches, da \(g(x,\rho)\) mit einer willkürlichen Function von \(\rho\) als Factor behaftet ist, \(\kappa+1\) willkürliche Constanten enthält und daher das allgemeinste Integral dieser Art ist. Aus dieser Form werden mit Leichtigkeit einige von den Herrn Fuchs und Thome gefundene Sätze, sowie die Bedinungen dafür hergeleitet, dass in dem zu \(\rho_\kappa\) gehörigen Integral keine Logarithmen vorkommen. Wenn \(g_\nu(\rho)= \frac{g(\rho).h(\rho)} {f(\rho+1)\dots f(\rho+\nu)}\) gesetzt wird, so lauten die letzten Bedingungen einfach, wie folgt: Es müssen für \(\rho=\rho_\kappa\) die Gleichungen stattfinden: \[ h_\nu(\rho)=0 \quad\text{für}\quad \nu=\rho_{\kappa-1}- \rho_\kappa, \] \[ \frac{dh_\nu(\rho)}{d\rho} =0\quad\text{für}\quad \nu=\rho_{\gamma-2}- \rho_\kappa,\cdots\;\frac{d^{\kappa-1} h_\nu(\rho)} {d\rho^{\kappa-1}}=0 \quad\text{für}\quad \nu=\rho_0- \rho_\kappa \] (\S\S 3, 4). Zur Berechnung der \(g_\nu(\rho)\) wird aus der Formel (2) noch eine zweite Recursionsformel entwickelt: \[ f(\rho). G_\nu(\rho)+ f_1(\rho). G_{\nu-1}(\rho+1)+ \cdots+ f_\nu(\rho). G(\rho+\nu), \] wo \(G_\nu(\rho)= \frac{g_\nu(\rho)} {f(\rho).g(\rho)}\). Aus (4) folgt für die Function \(\sum_\nu G_\nu(\rho) x^{\rho+\nu}= G(x,\rho)\) die Functionalgleichung: \[ \sum_\nu f_\nu(\rho). G(x,\rho+\nu)= x^\rho. \] Die linke Seite ist eine endliche Summe, wenn \(f(x,\rho)\) eine ganze Function von \(x\) ist. Eine Anwendung dieser Gleichung auf den Fall, wo \(f(x,\rho)\) vom ersten Grade ist, führt auf eine Kettenbruchentwickelung der daselbst auftretenden Reihe ein specieller Fall ist (\S 5). Schliesslich wird der Convergenzbereich der linken Seite obiger Functionalgleichung, falls \(f(x,\rho)\) keine ganze Function von \(x\) ist, untersucht. Er ergiebt sich als der Kreis, innerhalb dessen \(f(x,\rho)\) convergirt, also derselbe, in dessen Innerem auch die Reihen \(G(x,\rho), G(x,\rho+1),\dots\) einzeln convergiren. Damit die letzteren in diesem Bereiche endlich bleiben, müssen die Wurzeln der Gleichungen \(f(\rho)=0, f(\rho+1)=0,\dots\) vom Gebiete von \(\rho\) ausgeschlossen werden. Aus der Functionalgleichung wird alsdann der Satz gefolgert: Eine Function, die durch \(x^\rho\) dividirt in der Umgebung von \(x=0\) nicht verschwindet, also von der Form \(\sum x_\nu x^{\rho+\nu}\) ist, lässt sich stets in eine Reihe von der Form \(\sum_\nu c_\nu G(x,\rho+\nu)\) entwickeln, falls \(\rho\) keine Wurzeln der Gleichung \(f(\rho)=0\) noch um eine ganze Zahl kleiner als eine solche Wurzel ist.