On the integration of first order partial differential equations. (Q1560024)

Die Note zerfällt in zwei Theile. Der erste Theil giebt den algebraischen Ausdruck für die Lie'sche Ausdehnung der Methode von Cauchy (vgl. F. d. M. IV, p. 170, JFM 04.0163.01) in einer Form an, in welcher der Satz als eine directe Erweiterung des Cauchy'schen Integrationsverfahrens in seiner einfachsten Gestalt erscheint. Im zweiten Theile wird eine andere fundamentale Bemerkung von Lie begründet und damit eine Unvollkommenheit beseitigt, die den neueren Integrationsmethoden der partiellen Differentialgleichungen bisher noch anhaftete und die am Schärfsten hervortritt bei der Jacobi'schen Methode. Jacobi führt das Problem eine gegebene, nicht lineare partielle Differentialgleichung \(1^{\text{ter}}\) Ordnung zu integriren, auf die Aufgabe zurück, von einer Reihe Jacobi'scher Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen successive je eine Lösung zu finden. In diesen linearen Systemen treten neben den Grössen \(q\), welche die unabhängigen Variabeln der ursprünglichen Gleichung sind, als unabhängige Variable noch auf die partiellen Differentialquotienten \(p\) der unbekannten Functionen nach den \(q\), und das Missliche war, dass man nur solche Lösungen zu verwerthen wusste, in denen die Variabeln \(p\) nicht gänzlich fehlen. Die Note zeigt, dass diese Beschränkung der Lösungen unnöthig ist, dass man vielmehr auch aus einer Lösung, welche eine blosse Function der \(q\) wäre, ohne neue Integrationen den gleichen Nutzen ziehen kann, siehe auch JFM 05.0196.01.