Research on some indefinite products. (Q1560068)

Die Arbeit enthält eine grosse Anzahl neuer Resultate, hauptsächlich in Bezug auf die Producte \[ \alpha = \prod_{1}^{\infty} (1-q^{2n+1}),\quad \beta = \prod_1^{\infty} (1+q^{2n+1}), \] \[ \alpha ' = \prod_1^{\infty} (1-q^{2n}),\quad \beta ' =\prod_1^{\infty} (1+ q^{2n}). \] \S 1 enthält die Formeln für die Functionen, die in der Folge gebraucht werden. Am meisten Anwendung findet die Relation \(\alpha \beta \beta ' = 1\). \S 2 enthält die Reihenentwickelung der Producte \(\alpha, \alpha ', \beta, \beta '\) und ihrer einfachsten Combinationen unter sehr verschiedenen Formen, wie auch eine grosse Zahl von Sätzen über die Zahlen, die daraus entstehen. \S 3 handelt von den Producten \[ \prod_1^n (1+x^p), \quad \prod_1^n \fracwithdelims(){1}{1-x^p}. \] \S 4 giebt Zahlentafeln, die sich auf die vorhergehenden beiden Paragraphen beziehen. Die \S\S 5 bis 7 haben das Studium verschiedener Ausdrücke wie \[ \prod_1^{\infty} (1- q^n),\quad \sum_1^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{q^{2n-1}}{1--q^{2n -1}} \] und darauf bezüglicher arithmetischer Functionen zum Gegenstande. Der letzte \S ist der Summation bemerkenswerther Reihen mit Hülfe von bestimmten Integralen gewidmet, wofür sich viele Beispiele finden. Diese Beispiele haben zum Typus die Reihe von Lambert. Ihrer Natur nach entzieht sich die Abhandlung einer Analyse. Referent beschränkt sich daher darauf, den Hauptgang der Rechnung und einige Resultate anzudeuten. Der Verfasser zerlegt nach Jacobi ein unendliches Product \(P\) in ein Product von andern unendlichen Producten \(A, B, C \ldots\). Er entwickelt dann alle diese Producte in Reihen und erhält so eine Reihe gleich einem Product von Reihen, woraus sich zahlreiche arithmetische Sätze ergeben. Interessant ist ein Resultat für \(\alpha^{\prime 3}\). Man gelangt zu 10 verschiedenen Formen für diesen Ausdruck, von denen 8 neu sind: \(\alpha^{\prime 3}\) ist gleich 3 Producten von 2 gleichen Factoren in einen dritten von diesen verschiedenen und gleich 7 Producten von ungleichen Factoren. Unter den arithmetischen Sätzen, zu denen man gelangt, mögen hier folgende bemerkt werden: 1) Wenn eine Zahl nicht pentagonal ist, lässt sie ebenso viel Zerlegungen in eine grade Zahl von ungleichen Theilen, als Zerlegungen in eine ungrade Zahl von ungleichen Theilen zu. 2) Es sei \(N\) ein gegebenes Vielfaches von 4, \(n\) eine ungrade Zahl kleiner als \(N\). Man zerlege \(n\) in eine Summe von Potenzen von 2 und mache \(\lambda _n = +1\) oder \(-1\), je nachdem die Anzahl der Theile grade oder ungrade ist. Setzt man endlich voraus, dass \[ N-n=2^{\beta n}i, \] so ist \[ \sum_0^{N-2} \lambda _n 2^{\beta n} = \pm \frac{N}{2}. \] Das Zeichen \(+\) entspricht dem Fall, wo \(N\) die Summe einer ungraden Zahl Potenzen von 2 ist. 3) Der Ueberschuss der Zahl der graden Werthe von \(x\) (ausser 0), die der Gleichung \[ 4x^2 + 4y^2 + (2z+1)^2 = (2n+1)^2 \] genügen, über die Zahl der ungraden Werthe ist \[ \frac{(2n+1)(-1)^n - 1}{4}. \] 4) Wenn man \(n=di\) macht, so ist das Vielfache von 8, \(8n\), zerlegbar in acht Quadrate; und zwar \(\mu\)mal, wenn \(\mu\) die Summe der Cuben der Divisoren von \(d\) (\(i\) ist eine ungrade Zahl). Im letzten \S ist der Verfasser zu einfachen Relationen zwischen elliptischen und andern bestimmten Integralen gelangt.