Theory of elliptic functions. (Q1560077)

Die neue Ausgabe ist eine vollständige Umarbeitung der im Jahre 1859 erschienenen ,,Théorie des fonctions doublement périodiques et, en particulier, des fonctions elliptiques``. Das erste Buch behandelt die ,,algebraischen Functionen``, und zwar Cap. I. die Darstellung der imaginären Variabeln, die Definition der Functionen und ihrer Ableitungen, Cap. II das Fundamentaltheorem über die Reihentheorie, den Cauchy'schen Satz über die imaginären Wurzeln, die weitere Theorie dieser Wurzeln und die Gesetze ihrer Permutation um die singulären Punkte. Das zweite Buch enthält die Theorie der durch Reihen definirten Functionen, also die Anwendung der Theorie der Potenzreihen auf die Functionen \(c^2\), \(\sin z\), \(\cos z\) und die inversen, ferner auf die Thetareihe \[ \theta (z) = \sum_{-\infty}^{\infty} e^{nz+n^2u} \] und die als Quotienten solcher Thetareihen definirten elliptischen Functionen. Buch III ist den ,,bestimmten Integralen`` gewidmet. Es ist darin die vollständige Theorie der Taylor'schen Reihe auseinandergesetzt, und den Schluss bildet die Einführung der Perioden, besonders nach der Methode von Clebsch und Gordan. Im IV. Buche beginnt das Studium der allgemeinen Eigenschaften der Functionen. Hier werden die characterischen Merkmale der verschiedenen Gattungen von Functionen angegeben, die allgemeinen Sätze über die doppelt-periodischen Functionen, die Entwickelung einer Function in eine Summe, die aus unendlich vielen rationalen Gliedern besteht, und die Entwickelung in Producte. Das V. Buch handelt von der Definition der Functionen durch Differentialgleichungen mit der Anwendung auf die logarithmische Function und auf die elliptischen Functionen, das Schlusskapitel enthält die Integration durch elliptische Functionen. Dieses ist in kurzem der Inhalt des vorliegenden ersten Bandes. Eine ausführlichere Analyse findet sich in Darboux Bull. VI, 65-69.