Addendum to the memoir on the division into seventeen parts of the lemniscate P. 255 of this volume. (Q1560087)

(Referat auch für JFM 05.0258.02) Abel hat in seinen ,,Recherches sur les fonctions elliptiques`` (Oeuvres I, 141) gezeigt, dass man durch alleinige Anwendung von Lineal und Cirkel den Umfang einer Lemniscate in \(n\) gleiche Theile theilen kann, wenn \(n\) eine Primzahl von der Form \(2^{\nu}+1\) ist. Zweck der vorliegenden Arbeit ist, diese Theilung für den speciellen Fall \(\nu = 4\) geometrisch auszuführen. Die Aufgabe wird zurückgeführt auf die Lösung der Gleichung vierten Grades: \[ x^4 + (12 \mp 20i)x^3 + (-10\pm 28i)x^2 + (-20 \mp 12i) x + 1\pm 4i = 0, \] deren Wurzeln sind \[ \varphi ^4 \left( \frac{2\omega}{1\mp 4i} \right), \quad \varphi ^4 \left( \frac{4\omega}{1 \mp 4i} \right), \quad \varphi ^4 \left( \frac{6\omega}{1\mp 4i} \right),\quad \varphi ^4 \left(\frac{12\omega}{1\mp 4i} \right), \] wo \[ u=\int_0^r \frac{dr}{\sqrt{1-r^4}},\quad r=\sin \text{am } u = \varphi (u), \] und \(2\omega\) die eine Fundamentalperiode dieser Function, d. h. der Lemniscatenquadrant ist. Die Herstellung der Wurzeln obiger biquadratischen Gleichung und die Ausführung der geometrischen Construction bietet weiter keine Schwierigkeiten. In dem ,,Zusatz`` bemerkt Herr Kiepert, dass er inzwischen auf eine Arbeit von Wichert: ,,Die Fünf- und Siebzehutheilung der Lemniscate`` (Pr. Conitz, 1846) aufmerksam gemacht sei, in der die Lösung des Problems ebenfalls auf die obige biquadratische Gleichung zurückgeführt ist.