On so called non Euclidean geometry (2nd edition). (Q1560101)

Die vorliegende Abhandlung, die sich an eine frühere über denselben Gegenstand anschliesst (s. F. d. M. III, p. 231, JFM 03.0231.02), zerfällt, in zwei Abschnitte. Der erste beschäftigt sich mit dem Begriffe einer Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmasse und ihrer Beziehung zur projectivischen Mannigfaltigkeit. Wie der Herr Verfasser inzwischen in seinem Erlanger Antritts-Programme ausfürhlicher erörtert hat, wird eine Mannigfaltigkeit von beliebig vielen Dimensionen durch die ihr adjungirte Transformationsgruppe characterisirt, so die projectivische Mannigfaltigkeit durch die allgemeinen linearen Transformationen. In derselben Art fällt die Beilegung eines constanten Krümmungsmasses zusammen mit der Forderung freier Beweglichkeit starrer Körper. Es ist aus den Arbeiten von Beltrami (siehe F. d. M. I, p. 208, JFM 01.0208.04) bekannt, dass in einer Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmasse die Variablen so gewählt werden können, dass die geodätischen Linien durch lineare Gleichungen dargestellt sind, dass ferner bei dieser Coordinaten-Bestimmung die Transformationen, welche die Massverhältnisse ungeändert lassen, durch lineare Gleichungen ausgedrückt werden. Daraus wird man schliessen, dass die Behandlung einer Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmasse in der projectivischen Behandlung enthalten ist -- was nach dem ersten Aufsatze des Herrn Klein so ausgedrückt werden kann: die Gruppe von Transformationen, welche die Massbestimmung in einer Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmasse ungeändert lassen, besteht bei passender Coordinaten-Bestimmung aus der Gruppe derjenigen linearen Transformationen, welche eine quadratische Gleichung (von nicht verschwindender Determinante) in sich überführen. Hierzu tritt noch die Annahme, dass diese Gleichung eine definite oder eine solche sei, die sich durch eine reelle Transformation in eine Summe von Quadraten verwandeln lasse, in der alle Quadrate bis auf eines gleichbezeichnet sind. Der erste Fall liefert ein positives, der zweite ein negatives Krümmungsmass. Diejenigen Coordinaten, durch welche die kürzesten Linien linear ausgedrückt sind, sind nach einem bekannten Satze der projectivischen Geometrie Doppelverhältnisse, die sich nunmehr nach dem Vorgange von Cayley als Functionen der Entfernungen bestimmen lassen. Im \(2^{\text{ten}}\) Abschnitte wird die im ersten Aufsatze des Herrn Verfassers aufgestellten Behauptung bewiesen, dass für die von v. Staudt in seiner Geometrie der Lage gegebene Begründung der projectivischen Geometrie das Parallelen-Axiom unwesentlich sei. Es lässt sich durch die von v. Staudt gebrauchten Schlüsse der Satz zeigen: ``In einem begrenzten Raume sei eine unendliche Zahl überall stetig gekrümmter, nur durch die Begrenzung geendigter Flächen gegeben, welche die folgende Gruppirung besitzen: 1) Durch drei beliebig angenommene Punkte des gegebenen Raumes geht eine und nur eine Fläche des Systems hindurch. 2) Die Durchschnitts-Curve, welche zwei Flächen des Systemes gemein haben können, gehört allen Flächen an, die zwei Punkte der Curve enthalten''. ``Für ein solches System von Flächen und Curven gilt die projectivische Geometrie in demselben Sinne, wie gemäss den gewöhnlichen Vorstellungen für das System der Ebenen und Geraden in einem beliebig begrenzten Raume''. Was diesen Satz merkwürdig macht, ist, dass ein analoger Satz, den man für die Ebene formuliren möchte, nicht existirt. Damit erweist sich der Vorgang von v. Staudt, der zur Begründung der projectivischen Geometrie auch der Ebene räumliche Verhältnisse heranzieht, als dem Wesen der Sache entsprechend. Uebrigens enthält die Reihe der dabei vorkommenden Schlüsse eine Lücke, worüber indess bereits eine neue Mittheilung des Herrn Verfassers vorliegt.