On computation with transformations (Q1560182)

Staudt hat den Inbegriff von vier Elementen desselben Elementargebildes mit Rücksicht auf die Ordnung, in der sie geschrieben werden, einen Wurf genannt. Zwei Würfel sind gleich, wenn sie projectivisch sind; jeder Wurf kann demnach in einen andern verwandelt werden, von dem die 3 ersten Elemente gegebene reelle sind. Ist das vierte dann auch reell, so nennt ihn Staudt neutral; zwei nicht neutrale sind conjugirt, wenn dann die vierten Elemente conjugirt sind. Ein Wurf heisst \(0,1,\infty\), wenn sein viertes Element mit dem ersten, zweiten oder dritten identisch sind. Sind \(abcd=u\) und \(abcd_1=u_1\) zwei Würfe, und wird \(s\) so bestimmt, dass \(cc, dd_1, as\) in Involution sind, so nennt Staudt den Wurf \(abcs\) die Summe \(u+u_1\); wird hingegen \(p\) so bestimmt, dass \(ac, dd_1\), \(bp\) in Involution sind, so heisst der Wurf \(abcp\) das Product \(uu_1\), (wie Herr Lüroth die Staudt'sche Definition des Products umgestaltet hat); woraus sich dann die andern Operationen ergeben (Beitr. zur Geom. der Lage \(\$ 19-21\)). Der Nachweis der Analogie der Wurf-Operationen mit den Zahlen-Operationen, der von Staudt begonnen, wird nun von Herrn Lüroth fortgesetzt. Jeden Wurf, bei dem das erste und dritte Element durch die beiden andern getrennt sind, nennt Herr Lüroth negativ, die andern positiv, definirt, wenn ein Wurf grösser ist als ein anderer, und zeigt nun, dass bei der Addition und Multiplication von Würfen dieselbe Zeichenregel statt hat, wie bei Zahlen, dass die Producte von ``echten'' und ``unechten'' Würfen sich ebenso verhalten, wie bei Zahlen, und dass wenn \(abcd<abcd_1<abcd_2<\cdots\), der Sinn \(d d_1 d_2\cdots\) mit dem Sinne \(abc\) übereinstimmt. Es giebt ferner stets einen positiven Wurf, dessen Quadrat dem Product zweier nicht neutraler conjugirten gleich ist: der absolute Werth der letzteren; und jeder nicht neutrale Wurf ist in der Form \(u+ri\) darzustellen, wo \(u\) und \(v\) neutral sind \(i\) eine der beiden Wurzeln des harmonischen Wurfs. Nun ist auch der Begriff einer ganzen Wurffunction festgestellt. Die absoluten Functionswerthe müssen, weil positiv, eine untere Grenze haben. Nach Analogie eines Beweises von Darboux (Bull. 1872. S. 307) wird besonders mit Hilfe des Satzes, dass man durch fortgesetzte Halbirung eines positiven Wurfes jeden gegebenen positiven Wurf unterschreiten kann, gezeigt, dass ein Wurf mindestens existirt, der das Minimum bewirkt, dann, dass dasselbe Null ist. Daraus folgt, dass jede ganze Wurffunction für \(u\) Würfe verschwindet. Mit Benutzung der (rein geometrische) Grassmann'schen Definition der Curve \(u^{\text{ter}}\) Ordnung (Crelle J. XXXI) wird nun, weil die homogenen Coordinaten nichts anders als Wurfverhältnisse sind und die Bildung der Resultate zweier Gleichungen rein formal ist, der Beweis der beiden Hauptsätze der ebenen Curventheorie über die Zahl der Schnittpunkte einer Curve mit einer Geraden oder einer andern Curve ohne Hülfe von Massbegriffen geführt.