About the radii of curvature and radial curves of homogeneous surfaces (Q1560315)

Denkt man eine Fläche in homogenen Ebenencoordinaten ausgedrückt, so kann die vierte Variable \(s\) als Function der drei andern \(u,v,w\) angesehen werden; wird die Differentiation nach diesen durch die Indices \(1,2,3\) angedeutet, so ergiebt sich für die Hauptkrümmungsradien \(r_1\) und \(r_2\): \[ =\frac{Q}{2}[s_{11}+s_{22}+s_{33}\pm\root r_1\quad\text{resp.}\quad r_2\of {(s_{11}+s_{22}+s_{33})^2-4(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})}]. \] In dieser Formel bedeutet \(Q=\sqrt {u^2+v^2+w^2}\); \[ A\equiv \left|\begin{matrix} s_{11} & s_{12} & s_{13}\\ s_{21} & s_{22} & s_{23}\\ s_{31} & s_{32} & s_{33}\end{matrix}\right| =0\quad\text{und}\quad \sigma_{kk}\equiv\frac{\partial A}{\partial s_{kk}}. \] Für Minimalflächen wird \[ s_{11}+s_{22}+s_{33}=0\quad\text{d. h.}\quad \frac{\partial^2 s}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 s}{\partial v^2}+\frac{\partial^2 s}{\partial w^2}=0; \] das ist der Form nach die Gleichung, welcher das Potential für einen äusseren Punkt genügt. Bedeutet: \[ \begin{multlined} \varphi(du,dv,dw)\equiv s_{11}du^2+s_{22}dv^2+s_{33}dw^2+2s_{23}dvdw\\ +2s_{13}du dw+2s_{12}du dv,\end{multlined} \] so gilt für die Krümmungslinien die Differentialgleichung: \[ \left|\begin{matrix} \varphi'(du) & \varphi'(dv) & \varphi'(dw)\\ u & v & w\\ du & dv & dw\end{matrix}\right| =0, \] aus welcher, wie der Herr Verfasser zeigt, die analog geformte Gleichung von Hesse für den Fall der Punktcoordinaten leicht abgeleitet werden kann.