About some properties of lemiscates (Q1560400)

Nachdem die schon bekannten Fälle solcher conformen Abbildungen, bei welchen einer Parallelenschaar der einen Ebene eine gegebene Curvenschaar der andern entspricht (vergl. K. v. d. Mühl, Ueber die Abbildung von Ebenen auf Ebenen, Borchardt J. LXIX 264-285 s. F. d. M. I 256, JFM 01.0256.01), recapitulirt sind, findet der Herr Verfasser, dass den Parallen zu beiden Axen in der Ebene \(u, t\), zwei Systeme nicht confocaler Lemniskaten in der Bildebene \(x, y\) entsprechen können; aber die Untersuchung zeigt nicht, dass damit alle Fälle erschöpft sind, in welchen den Parallelen zur \(t\)-Axe Lemniskaten in der \(xy\)-Ebene entsprechen. In der Gleichung der Lemniskate \[ (x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=b^4-a^4 \] werden \(a\) und \(b\) so als Functionen von \(t\) bestimmt, dass den Parallelen zur \(t\)-Axe die in der Gleichung enthaltenen Lemniskaten entsprechen. Die Abbildung kann unter dieser Bedingung vermittelt werden durch die Gleichung: \[ x+i\cdot y=\pm c\sqrt {\frac{1+e^{t+ui}}{1-e^{t+ui}}}, \] und zwar wird durch dieselbe der zwischen \(u=0\) und \(u=\pi\), \(t=-\infty\) und \(+\infty\) enthaltene Theil der \(tu\)-Ebene (mit Ausnahme des Punktes \(t=\infty\)) eindeutig auf die ganze \(xy\)-Ebene abgebildet. Eliminirt man \(u\) aus den beiden Gleichungen, die sich durch die Trennung des Reellen und Imaginären ergeben, so erhält man \[ (x^2+y^2)^2-2c^2\frac{1+e^{2t}}{1-c^{2t}}(x^2-y^2)+c^4=0. \] Diese nicht confocale Lemniskatenschaar hat für ein negatives \(t\) folgende Eigenschaften: 1) Jede Curve besteht aus zwei getrennten Zweigen; 2) Ist \(O\) Anfangspunkt, \(P\) und \(P^1\) die Punkte, in denen ein Zweig die \(x\)-Axe schneidet, so ist \(OP.OP_1=c^2\), d. h. \(OP.OP_1\) ist für alle Lemniskaten dieser Schaar constant; 3) Allen Tangenten von \(O\) an die Lemniskaten sind gleich; ist \(t\) positiv, so liegen die Brennpunkte auf der \(y\)-Axe, und es bestehen analoge Eigenschaften. Sind \(F\) und \(F_1\) die beiden Punkte \(x=\pm c\), \(y=0\), \(G\) und \(G_1\) die Punkte \(x=0\), \(y=\pm c\), \(P\) ein Punkt der Lemniskate deren Parameter \(t_1\) ist, so findet sich: \[ e^{t_1}=\frac{PF.PF_1}{PG.PG_1}. \] Das zur Schaar \(t\) orthogonale System \(u\) ist durch die Gleichung definirt: \[ (x^2+y^2)^2-4xyc^2\text{cotg}.u=c^4; \] dasselbe besteht aus eintheiligen Lemniskaten, welche durch vier feste Punkte gehen. Wird in der oben genannten allgeminen Gleichung der Lemniskate \(a=b\) gesetzt, so findet sich als Bild der Parallelen zu der \(u\)- und \(t\)-Axe die Doppelschaar: \[ (x^2+y^2)^2=\frac{1}{t}(x^2-y^2)\quad\text{und}\quad (x^2+y^2)^2=-\frac{2}{u}xy; \] die Lemniskaten beider Schaaren haben die Form der 8 und sind reciproke Curven zu einem System gleichseitiger Hyperbeln. Die Untersuchung führt auf einige wichtige Eigenschaften der Lemniskaten; für die aus zwei Zügen bestehende Lemniskate gilt folgender Satz: ``Trägt man auf der \(x\)- und \(y\)-Axe vom Anfangspunkt aus die Stecke \(\root 4\of {a^4-b^4}\) nach beiden Seiten hin ab, so steht das Product der Abstände eines beliebigen Lemniskatenpunktes von den Punkten der \(x\)-Axe zu dem Product der Abstände von den beiden andern Punkten in constantem Verhältniss''. Diese Eigenschaft kann zur Definition der zweitheiligen Lemniskate gebraucht werden.