An example about the theory of isogonal relations (Q1560401)

Die Abbildungen \(Z=\cos z\), \(Z=\sin z\), \(Z=\sin \text{am} z\), \(Z=\cos \text{am} z\), \(Z=\Delta \text{am} z\) werden nach einander discutirt, insbesondere die Doppelschaar orthogonaler Curven in Ebene \(Z\), welche den Parallelen zu den Axen in der \(z\)-Ebene entsprechen; ferner wird der Zusammenhang dieser Abbildungen geprüft, für welchen die Abbildung \(Z=\sqrt {1-z^2}\) von wesentlicher Bedeutung ist; durch diese Abbildung geht das System der Geraden durch den Nullpunkt über in ein System gleichseitiger Hyperbeln durch die Punkte \(\pm 1\); während sich die Kreise um den Nullpunkt der \(z\)-Ebene in das orthogonale System confocaler Lemniskaten verwandeln. Dieselbe Transformation verwandelt das System confocaler Ellipsen und Hyperbeln mit den Brennpunkten \(\pm 1\) in ein gleiches System, und zwar erzeugen die Ellipsen sich selbst wieder, während jede Hyperbel sich in ihre Complementarhyperbel verwandelt. (Confocale Hyperbeln heissen hier complementär, wenn ihre Asymptoten mit der reellen Axe Complementarwinkel bilden). Der letzte Satz kann benutzt werden, um eine Ebene, die von einer Doppelschaar confocaler Ellipsen und Hyperbeln bedeckt ist, auf eine mit ihr zusammenfallende nach dem Gesetz \(Z=\sqrt {1-z^2}\) abzubilden. Das Bild eines Punktes wird gefunden, wenn man von dem gegebenen Punkte auf der durchgehenden Ellipse bis zur Complementarhyperbel fortschreitet. Confocale Lemniskaten mit den Brennpunkten \(\pm 1\) gehen auf diese Weise in eben solche mit den Brennpunkten \(\pm \sqrt {1-\lambda^2}\), Kreise durch die Punkte \(\pm 1\) und die orthogonale Kreisschaar in die reciproken Curven confocaler Kegelschnitte mit dem Brennpunkte \(\pm 1\) über; die \(\sin \text{am}\)- in \(\cos \text{am}\)-Curven; endlich wenn man von der Lage und Vergrösserung absieht, gehen die \(\sin \text{am}\)-Curven in die \(\Delta\)am-Curven über. Neue Gesichtspunkte eröffnet die Arbeit nicht.