Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe. (Q1560452)

Unter den Attractionsgesetzen, welche die Wirkung der Kraft in unendlicher Entfernung zu Null machen, ist das Newton'sche das einzige, bei welchem Körper, die eine Anfangsgeschwindigkeit haben und von einem festen Centrum angezogen werden, nothwendig geschlossene Curven um dieses Centrum beschreiben. Diesen Satz hat der Verfasser in vorliegender Notiz aufgestellt und bewiesen. Der Gang des Beweises ist in kurzer Zügen folgender: Ist \(\varphi(x)\) die in der Entfernung \(r\) ausgeübte Anziehung gegen das feste zum Anfangspunkt der Coordinaten gewählte Centrum, so wird zunächst eine Relation zwischen den Polarcoordinaten \(\theta\) und \(r\) oder vielmehr dem reciproken Werth von \(r, z\), hergeleitet. Diese heisst: \[ d\theta=\pm\frac{dz}{\sqrt {h+\frac{1}{k^2}\omega(z)-z^2}},\quad \text{wo}\quad \omega_z=2\int \psi(z)dz,\psi(z)=r^2\varphi(r) \] ist. Soll nun die durch diese Gleichung dargestellte Curve geschlossen sein, so wird \(z\) Maxima und Minima haben, für die \(\frac{dz}{d\theta}\) Null sein wird. Die entsprechenden Radii vectores, normal zur Bahn, werden für die Symmetrieaxen sein. Der Verfasser giebt nun die Gleichung für ein Maximum und Minimum von \(z\) und leitet daraus die Relationen her, die zwischen den \(\omega, \psi\) und \(\varphi\) stattfinden müssen. Er erhält dadurch als Form für \(\varphi(x)\) \[ \varphi(r)=\frac{A}{2}r^{\frac{1}{m^2}-2}. \] Ist darin \(\frac{1}{m^2}-2\) negativ, so folgt \(m=1\), d. h. \(\varphi(r)=\frac{A}{r^2}\). Als zweites, mögliches Attractionsgesetz unter der aufgestellten Bedingung ergiebt sich \(\frac{1}{m^2}-2=\text{positiv}\), \(\varphi(A)=Ar\).