On the equilibrium problem of elastic bodies of revolution. (Q1560523)

Wangerin wendet die allgemeinen von Lamé aufgestellten Elasticitätsgleichungen, in denen statt der geradlinigen Coordinaten die Parameter \(\varrho,\varrho',\varrho''\) dreier beliebiger Orthogonalflächenschaaren eingeführt sind, auf Rotationsflächen an. Für den Fall eines ruhenden Rotationskörpers, auf den keine äusseren Kräftewirken, den Wangerin allein behandelt (auf den allgemeinen verspricht er jedoch später zurückzukommen) erhält man für die Volumdilatation \(\varTheta\) des Körpers eine Gleichung, welche nichts anders ist, als die Gleichung, die man erhält, indem man in die bekannte Gleichung \[ \frac{\partial^2\varTheta}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varTheta}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varTheta}{\partial z^2}=0 \] statt \(xyz\) die Variabeln \(\varrho, \varrho', \varrho''\) einführt. Wangerin nennt die so erhaltene Gleichung immer die ``Potentialgleichung''. Für Rotationskörper geben diese Variabeln über in die Parameter, \(\varrho, \varrho', \varrho''\) einführt zweier orthogonalen Schaaren von Rotationsflächen mit derselben Rotationsaxe und einer Schaar von Ebenen, die durch die Rotationsaxe gehn. Er zeigt, dass, sobald man nur die geschilderte Eintheilung des Innern des gegebenen Rotationskörpers und die Lösung der Potentialgleichung mit den Variabeln \(\varrho, \varrho', \varphi\) gefunden hat, jedesmal alle auf das elastische Gleichgewicht bezügliche Grössen berechnet werden können. Die Form, in welcher Wangerin's Lösung erscheint, ist eine Verallgemeinerung der Lösung des auf die Kugel Bezug habenden Problems mittelst der Kugelfunctionen. Als Beispiel behandelt Wangerin einen von zwei excentrischen Kugelflächen und zwei confocalen Rotationsellipsoiden begrenzten Raum und einen Kreisring.