Lehrbuch der Arithmetik und Algebra. Erster Band: Die sieben algebraischen Operationen. (Q1560689)

Das vorliegende Buch soll den ersten Theil eines ausführlichen Werkes über die Anfangsgründe des rein analytischen Theiles der Mathematik bilden, das der Herr Verfasser besonders den Lehrern der Mathematik in die Hand geben will. Ein zweiter Band wird die Lehre ``von den natürlichen Zahlen'' enthalten, specieller: die wissenschaftliche Begründung der gemeinen Arithmetik, die Elemente der Zahlentheorie, der Combinatorik und der Grössenlehre; ein dritter Band soll dann ``die analytischen Zahlen'' behandeln, und ein vierter überhaupt die ``Analysis des Endlichen'' zum Abschluss bringen. Als die Quellen für die Ausarbeitung des Ganzen giebt der Herr Verfasser selbst folgende Werke an: H. Grassmann, Lehrbuch, der Arithmetik, Berlin 1861; Lejeune- Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben von Dedekind, Braunschweig 1863; J. H. T. Müller, Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik, Halle 1838 und 1855; H. Hankel, Vorlesungen über die complexen Zablen und ihre Functionen, 1. Theil, Leipzig 1867; M. Ohm, Versuch eines vollkommen consequenten Systems der Mathematik, Bd. 1 und 2, \(2^{\text{te}}\) Aufl. Berlin 1829; J. Bertrand, Traité d'Arithmétique, 4. ed. Paris 1867; M. Cantor, Grundzüge einer Elementararithmetik, Heidelberg 1855; R. Baltzer, Die Elemente der Mathematik, I, \(2^{\text{te}}\) Aufl., Leipzig 1855. Aus diesen Schriften ist aber nicht etwa ein blasses Sammelwerk gebildet, sondern überall ist eine selbstthätige Denkarbeit und eine Fülle neuer eigenthümlicher Betrachtungsweisen zu bemerken. Die einschläglichen Gebiete sind mit thunlichster Vollständigkeit behandelt, das Material besser geordnet, die verschiedenen Methoden kritisch gesichtet, und die didaktischen Interessen nicht minder als die wissenschaftlichen berücksichtigt. Das erste Kapitel, die Einleitung, führt nach Erklärung der (reinen) Mathematik als ``Lehre von den Zahlen'' und nach Betonung der unbeschränkten Bildungsfähigkeit des Zahlenbegriffes, den Leser zunächst in den Begriff der ``natürlichen Zahlen insbesondere'' ein. Darauf folgen die Begriffe und Gesetze der ``Zahlenvergleichung und Unterordnung, der Einsetzung und Einschliessung'', die Principien der Nomenclatur, das Charakteristische der Formel und die Unterscheidung von constanten und variablen Zahlen. Nach Einführung in diese einfachen Begriffe und Bezeichnungen geht nun der Herr Verfasser zur Betrachtung der 7 algebraischen Operationen über. Das zweite Capitel behandelt zunächst die drei directen Operationen, und zwar sowohl nach der recurrenten Methode von Grassmann , als nach der gewöhnlichen independenten. Es folgen im dritten Capitel die vier inversen Operationen. Diese werden in dem ersten Abschnitte als eindeutige betrachtet, und im zweiten erst als solche behandelt, wie sie auch ``sein könnten'' und (theilweise) später wirklich, auf andern Zahlengebieten, ``sein werden'', d. h. vieldeutig. Das vierte Kapitel entwickelt die Gesetze der Verbindung sämmtlicher Operationen mit einander. Hier bieten sich wieder zwei Behandlungsweisen dar, erstens die ``reale'', bei der es nur darum zu thun ist, die gedachten Gesetze so, wie sie sich in der Wirklichkeit für die gemeinen Zahlen gestalten, kennen zu lernen, und zweitens die ``formale'' Behandlungsweise, bei der es darauf ankommt, die Art zu erkennen, wie sich die Resultate nach den Voraussetzungen gruppiren, aus denen sie als Consequenzen hervorgegangen sind. Ein Anhang ``über die symbolische Darstellung von Summen und Producten'' bildet den Schluss des vorliegenden ersten Bandes.