On combinants. (Q1560857)

Unter einer Combinante versteht man eine solche invariante Bildung mehrerer Formen gleichen Grades, welche bis auf einen Factor ungeändert bleibt, wenn man die ursprünglichen Formen durch lineare Combinationen ersetzt. Gordan beweist nun, dass diese Combinanten unter den übrigen simultanen Invarianten, zu welchen die vorausgesetzten Formen Anlass geben, ein in sich geschlossenes System bilden. Man kann sie nämlich als Invarianten (unter diesem Ausdruck sollen hier Covariaten etc. immer mit inbegriffen sein) einer einzelnen unter ihnen darstellen, derjenigen Determinante nämlich, deren Elemente man erhält, wenn man die gegebenen Formen so oft mit verschiedenen Veränderlichen anschreibt, als ihre Anzahl angiebt. Diese fundamentale Combinante enthält also eine ganze Reihe von Variabeln. Aber bei binären Formen kann man derartige Bildungen immer durch ein simultanes Formensystem mit nur einer Art von Veränderlichen ersetzen. Ein solches System besitzt überdies, nach Gordan's fundamentalem Satze, immer ein endliches System von Invarianten. Die Combinanten binärer Formen setzen sich also, wie Gordan noch an einzelnen Beispielen erläutert, aus einer endlichen Zahl von Combinanten rational und ganz zusammen. Zum Zwecke des Beweises des vorgetragenen Theorems reproducirt Gordan, worauf hier ausdrücklich noch hingewiesen sein mag, in durchsichtiger Form den Satz von Clebsch, der die Grundlage für die Allgemeingültigkeit der symbolischen Methode in der Invariantentheorie liefert, dass nämlich jede Invariante eines Systems linearer Formen eine rationale ganze Function der aus den Coefficienten der Formen zu bildenden Determinanten sei.