A remark on the integration of some linear differential equations. (Q1561028)

Der Verfasser behandelt zwei lineare Differentialgleichungen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \[ \sum_{k=n}^{k=0} a_k y^{(k)}=0,\quad \sum_{k=n}^{k=0} b_k y^{(k)}=0, \] welche ein gemeinschaftliches particuläres Integral \(y_1\) besitzen, das dann selbstverständlich ein solches für die Gleichung \[ \sum_n^0 (a_kX+b_k Y)y^{(k)}=0 \] ist, wo \(X\), \(Y\), Functionen von \(x\), \(y, y', y''\cdots\) sind. Wenn sie nur \(x\) enthalten, d. h. wenn die letzte Gleichung auch linear ist, kann man mittelst der Variation der Constanten eine neue lineare Differentialgleichung \((n-1)^{\text{ter}}\) Ordnung herstellen. Die Bedingung, dass die ersten zwei Gleichungen ein gemeinschaftliches Integral besitzen, wird eine die Constanten \(a_k\), \(b_k\) enthaltende Gleichung sein, welche man aus den beiden ersten Gleichungen durch Elimination von \(y, y', y''\cdots\) erhält. Wenn \(a_k\), \(b_k\) constant sind, ist das Integral von der Form \(e^{\alpha x}\), wobei \(\alpha\) den Gleichungen \(n^{\text{ten}}\) Grades \[ \sum_n^0 a_k\alpha^k=0,\quad \sum_n^0 b_k\alpha^k=0 \] genügen muss. Aus diesen beiden Gleichungen kann man sich die Gleichung für \(a_k\), \(b_k\) und den Werth für \(\alpha\) bestimmen. Für \(n=2\) kann man die (für diesen Fall einfache) Bedingungsgleichung vortheilhaft verwenden. Es wird also \[ Y_1=e^{\alpha x} \] ein particuläres Integral von \[ (a_2X+b_2Y)y''+(a_1 X+b_1 Y)y'+(a_0 X+b_0 Y)y=0 \] sein, wenn \(\alpha\) den Gleichungen genügt: \[ \begin{aligned} & a_2 \alpha^2+a_1 \alpha+a_0 =0\\ & b_2\alpha^2+b_1 \alpha+b_0 =0,\end{aligned} \] woraus folgt \[ \alpha=\frac {(a_0 b_1)}{(a_2 b_0)}=\frac {(a_2 b_0)}{(a_1 b_2)}. \] Von den sechs Grössen \(a, b\) sind also fünf willkürlich, während man für die sechste aus der letzten für alle quadratischen Gleichung zwei Werthe erhält. Wenn wir nun in unserer Differentialgleichung \(y=ue^{\alpha x}\) setzen, ergiebt sich: \[ (a_2 X+b_2 Y)u''+[(a_1+a_2 \alpha)X+(b_1+2b_2 \alpha)Y]u'=0, \] welche Gleichung unmittelbar integrirt werden kann. Der letzten Bedingungsgleichung kann auch dadurch Genüge geleistet werden, dass \[ \frac {b_0}{a_0}=\frac {b_1}{a_1}=\frac {b_2}{a_2}=m; \] unsere Differentialgleichung hat dann den Factor \((X+m Y)\), nach dessen Absonderung man eine lineare Differentialgleichung mit constanten Coefficienten erhält. Eine sehr elegante Form gewinnt die Bedingungsgleichung \[ \frac {(a_0 b_1)}{(a_2 b_0)}=\frac {(a_2 b_0)}{(a_1 b_2)} \] für den Fall, dass \(X\) und \(Y\) trigonometrische Functionen sind, z. B. \[ X=\cos x,\quad Y=\sin x. \] Setzen wir ferner \[ a_k=m_k\cos v_k,\quad b_k=m_k\sin v_k, \] so geht die Differentialgleichung über in: \[ m_2\cos(v_2+x)y''+m_1\cos (v_1+x)y'+m_0\cos (v_0+x)y=0, \] welche das particuläre Integral \(y=e^{\alpha x}\) haben wird, wenn \[ \frac {\sin^2(v_0-v_2)}{m_1^2}=\frac {\sin(v_1-v_0)}{m_2}\cdot \frac {\sin(v_2-v_1)}{m_1} \] ist. Zugleich hat man \[ \alpha=\frac {m_1\sin(v_1-v_0)}{m_2\sin(v_0-v_2)}=\frac {m_0\sin(v_0-v_2)}{m_1\sin(v_2-v_1)}. \] Als Beispiel möge die Gleichung dienen: \[ (3-x)y''-(9-4x)y'+(6-3x)y=1, \] in welcher \(X=1\), \(Y=x\) wirklich den geforderten Bedingungen genügen; ferner ist \(\alpha=1\), somit \(y=ue^x\), woraus folgt: \[ (3-x)u''-(3-2)u'=0, \] \[ u'=C'e^{2x}(3-x)^3,\quad u=C+C'\int e^{2x}(3-x)^3dx, \] und schliesslich \[ y=Ce^x+C' e^{3x}(18.3-150x+4.2x^2-4x^3). \]