The elements of arithmetic. (Q1561061)

Diese Abhandlung zerfällt in zwei Abschnitte. Der erste enthält eine historische Uebersicht der Entwickelung der allgemeinen Arithmetik, der zweite eine kurze Darstellung der Elemente derselben, welcher die Behandlung desselben Gegenstandes zum Grunde liegt, die Hr. Weierstrass als Einleitung seiner Vorlesungen über die Theorie der analytischen Functionen zu geben pflegt. Hieraus sind besonders folgende zwei Punkte hervorzuheben. 1) Die Existenz der irrationalen Zahlen erscheint nicht als rein formale Forderung, sondern ist gegründet auf die Definition derselben als Zusammensetzungen aus unendlich vielen Elementen d. i. Einheiten und genauen Theilen der Einheit. Dabei kommt es nur darauf an, die Endlichkeit eines solchen Aggregates festzustellen. Dann folgt unmittelbar, was unter zwei gleichen Zahlen aus einem Grundelemente, was unter der grösseren von zwei solchen Zahlen zu verstehen sei. Hierdurch ist eine völlig sichere Grundlage gewonnen zur Aufstellung der Fundamentialoperationen für beliebige Zahlen aus einer Einheit. 2) Complexe Zahlen sind aus mehreren linear-unabhängigen Einheiten gebildet. Es wird gezeigt, wie die Multiplication von solchen Zahlen zu definiren sei, damit alle formalen Gesetze, die bei der Multiplication von ganzen Zahlen auftreten, erfüllt seien. Dazu kommt aber noch die Forderung, dass auch die Division stets möglich sei, den einzigen Fall ausgenommen, dass der Divisor Null sei -- oder mit anderen Worten: dass ein Product nur mit jedem seiner Factoren verschwinden könne. Die vorliegende Abhandlung bringt nun den Nachweis, dass dieser Forderung durch Zahlensysteme aus zwei Einheiten Genüge geleistet werden könne, während dieselbe in jedem Zahlensysteme aus drei Einheiten unerfüllbar bleibt.