On the integration of the partial differential equation \( \frac{\partial^2 u} {\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \). (Q1561065)

Veranlasst durch die Arbeit des Herrn Prym in Borchardt's J. LXXIII. 340 (siehe F. d. M. III. 182, JFM 03.0182.01) über die Existenz einer der Differential-Gleichung \(\varDelta u\)=0 genügenden Function, deren Werthe innerhalb einer einfachen Kreisfläche \(S\), den Rand einbegriffen, endlich und stetig, längs des Randes aber gegeben sind, läst Herr Schwarz zunächst seine denselben Gegenstand behandelnde Arbeit aus Wolf's J. XV. 113 (siehe F. d. M. II. 214, JFM 02.0214.01) hier noch einmal abdrucken. Die dieser Arbeit hinzugefügten Anmerkungen beziehen sich zum Theil auf die verwandten Arbeiten von C. Neumann (Clebsch Ann. III. 325 und Leipz. Ber. 1870, 264; siehe F. d. M. III. 491, JFM 03.0491.01) und betreffen die von Letzterem für die Function verlangte ``gleichmässige'' Stetigkeit und die Existenz der Ableitung \(\frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} \) für das Innere des betrachteten Gebietes; zum Theil enthalten sie historische Notizen über andere verwandte Arbeiten von Green, Betti, Dini, Poisson, C. Neumann, Schläfli, Heine und Prym. Es folgt eine ``Fortsetzung und Erweiterung der in den vorhergehenden Paragraphen enthaltenen Betrachtungen.'' Nach einer Bemerkung über die Veränderung der angegebenen Formeln für den Fall eines Kreises mit dem Radius \(R\) wird die vorhergehende Untersuchung dahin erweitert, dass die Function \(f(\varphi)\) nicht mehr für alle reellen Werthe von \(\varphi\) endlich, stetig, eindeutig und mit der Periode 2\(\pi\) periodisch ist, sondern dass diejenigen Werthe von \(\varphi\), welche einem der Werthe \(\varphi_1, \varphi_2,\cdots \varphi_m\) (die sämmtlich verschieden und \(< 2\pi\)) congruent mod. \(2\pi\) sind, ausgenommen werden, so dass sich \(f(\varphi)\) einer bestimmten endlichen Grenze nähert, wenn \(\varphi\) sich einem der ausgeschlossenen Werthe nähert; und die Function \(u^*\) stimmt am Rande mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von Punkten mit \(f(\varphi)\) überein. Der Beweis der Gleichung \[ u^*(r,\varphi)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} u^*(1,\psi) \frac{1-r^2}{1-2r\cos (\psi-\varphi)+r^2}\, d\psi \] wird hier durchgeführt, ohne dass (wie bei Prym und C. Neumann) über die Art der Unstetigkeit der Function, beziehungsweise über deren Vieldeutigkeit bei der Annäherung an einem singulären Punkt eine specielle Annahme gemacht wird. Analog dem Früheren wird nun der Existenzbeweis geführt, und das die Function darstellende Integral in der Nähe der singulären Punkte untersucht, wo eine Stetigkeitsunterbrechung am Rande eintritt, und wo die Stetigkeit der Function \(u^*\) ungewiss ist (\(\S\) 8). Eine derartige Verallgemeinerung erlauben auch die folgenden Sätze: ``Eine für alle Punkte im Innern und auf der Begrenzung eines einfachen endlichen Bereiches \(T\) endliche, stetige und eindeutige Function \(u\), deren partielle Ableitungen \[ \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \] nur für alle inneren Punkte des Gebietes \(T\) endliche, stetige und eindeutige Functionen von \(x\) und \(y\) sind, und der Gleichung \(\varDelta u\)=0 genügen, muss für alle inneren Punkte von \(T\) null sein, wenn sie für alle Punkte der Begrenzung den Werth Null hat'', und ``Wenn 2 f\"r dasselbe Gebiet \(T\) diesen Bedingungen genügende Functionen \(u\) und \(u_1\) für alle Punkte der Begrenzung des Gebietes übereinstimmen, so stimmen sie in ihren Werthen ganz überein.'' Diese hier entwickelten Sätze sind einer Abhandlung über die Integration der partiellen Differentialgleichung \(\varDelta u\)=0 entnommen, die Herr Schwarz im November 1869 den Herren Kronecker und Weierstrass mitgetheilt hat (\(\S\) 9 und \(\S\) 10). Im folgenden Paragraphen führt der Verfasser die Integration der partiellen Differentialgleichung analog dem Vorigen für den Fall eines von 2 concentrischen Kreisen begrenzten Ringgebietes durch (\(\S\) 11). Zum Schluss folgen Betrachtungen über die Entwickelbarkeit einer Function in Potenzreihen, welche den für Functionen complexen Argumentes aus dem Cauchy'schen und Laurent'schen Satze enspringenden analog sind (\(\S\) 12).