Expension of the Cauchy's method to the study of double integrals or theory of elementary boundaries in the space. (Q1561073)

Zur Bestimmung der verschiedenen Perioden des Doppelintegrals \(\iint z\,dx\,dy\), wo \(z\) durch die Gleichung \(f(xyz)=0\) bestimmt ist, wird die Gleichung des sogenannten scheinbaren Umrisses, \(F(xy)=0\), betrachtet, welche aus der Elimination von \(z\) zwischen \(f(xyz)=0\) und \(\frac{\partial f}{\partial z}=0 \) hervorgeht. Der geschlossene Integrationsweg wird, wie oben, durch die Bedingungen \(\varphi(\alpha\beta\alpha'\beta')=0\), \(\varphi_1(\alpha\beta\alpha'\beta')=0\), \((x=\alpha+\beta i\), \(y=\alpha'+\beta i)\) festgesetzt und mit \((\varphi,\varphi_1)\) bezeichnet und angenommen, dass er durch keine der Lösungen von \(F(xy)=0\) hindurchgeht. Schliesst er auch keine ein, so ist der Werth des Doppelintegrals Null. Schliesst er dagegen ein geschlossenes System von Lösungen der Gleichung \(F(xy)=0\) ein, so erhält man im Allgemeinen constante Werthe, welche die Perioden des Integrals sind. Es weden noch die Bedingungen angegeben, unter welchen die Constanten von Null verschieden sind.