Remark on the proof given by Sturm of the addition theorem of elliptic integrals of the first kind. (Q1561088)

Der einfache und elegante Beweis von Sturm für das Additionstheorem der elliptischen Integrale erster Gattung, den Liouville C. R. 1856 No. 21 mitgetheilt hat (siehe Schlömilch, Compendium d. höh. Anal. II. 327), leidet an dem Uebelstand, dass er nicht ersehen lässt, woher der pure eingeführte integrirende Factor kommt. Herr Schröter giebt im Vorliegenden eine Beweismethode des Additionstheorems, bei der sich der integrirende Factor von selbst in drei verschiedenen Formen darbietet, welche bei gehöriger Bestimmung der willkürlichen Constanten dem Theorem die verschiedenen bekannten Gestalten geben. Nachdem er nämlich erstens die zu integrirende Differentialgleichung \[ (1)\quad \frac{d\varphi}{\varDelta(\varphi)} + \frac{d\psi}{\varDelta(\psi)} = 0 \] auf die Form \[ \sin 2\psi\,\frac{\partial \varDelta(\varphi)}{\partial \varphi} d\varphi + \sin 2\varphi \,\frac{\partial \varDelta (\psi)}{\partial \psi} d\psi = 0 \] gebracht und mit einem Multiplicator \(M\) versehen hat, sucht er dieses \(M\) so zu bestimmen, dass nach Umformung durch theilweise Integration der Theil ausser dem vollständigen Differential \[ d\cdot M [\sin 2\psi\cdot \varDelta(\varphi) + \sin 2\varphi\cdot \varDelta(\psi)], \] welcher die Form \[ A\,\frac{d\varphi}{\varDelta(\varphi)} + B\,\frac{d\psi}{\varDelta(\psi)} \] hat, verschwindet, d. h. dass \(A=B\) wird. Zweitens wird die obige Differentialgleichung 1) mit \(\sin \varphi\cdot \sin \psi\) multiplicirt und auf die Form \[ \sin \psi \cdot \varDelta(\psi)\,\frac{\partial \cos \varphi}{\partial \varphi} d\varphi + \sin\varphi\cdot\varDelta(\varphi)\, \frac{\partial\cos \psi}{\partial \psi} d\psi = 0 \] gebracht, und es wird der nach der theilweisen Integration ausser dem vollständigen Differential \[ d\cdot M[\sin \psi\cdot \varDelta(\psi)\cdot\cos\varphi + \sin\varphi\cdot\varDelta(\varphi)\cdot\cos\psi \] auftretende Theil wie oben zum Verschwinden gebracht. Ebenso wird drittens mit der Form der Differentialgleichung \[ \varDelta(\psi)\cdot\cos\psi\cdot\frac{ \partial\sin\varphi}{\partial \varphi}\, d\varphi + \varDelta(\varphi)\cos\varphi\cdot \frac{\partial \sin\psi}{\partial\psi}\, d\psi =0 \] verfahren, welche durch Multiplication mit \(\cos\phi \cdot \cos \psi\) aus der ursprünglichen 1) entsteht. Die gefundenen Integralgleichungen ergeben leicht bei gehöriger Constantenbestimmung für jede der drei Functionen \(\sin \sigma\), \(\cos \sigma\), \(\varDelta(\sigma)\) vier verschiedene Gestalten des Additionstheorems.