On a geometric application of the complex multiplication of the elliptic functions. (Q1561096)

Vermöge des Additions- und Multiplicationstheorems der elliptischen Functionen wird die Theilung derjenigen Curven, deren Coordinaten sich als elliptische Functionen des Bogens ausdrücken lassen, ebenso wie die des Kreises durch Auflösung algebraischer Gleichungen bewerkstelligt. Als Beispiel für derartige Curven hatte Herr Kiepert bereits in seiner Dissertation (s. F. d. M. II. 239, JFM 02.0239.01) die Curve \(r^3=\cos 3\varphi\) angeführt. Hier behandelt der Verfasser nach einer Methode, welche Herr Weierstrass (in seinen Vorlesungen über Anwendungen der elliptischen Functionen) für die Fünf-Theilung des Lemniskatenbogens gegeben hat, die Theilung dieser Curve in \(6q+1\) gleiche Theile. Ebenso wie bei der Theilung der Lemniskate wird hier der Grad der aufzulösenden algebraischen Gleichung dadurch wesentlich erniedrigt, dass sich die complexe Multiplication der elliptischen Functionen anwenden lässt. Der Curvenbogen \(u\) ist nämlich von der Form \[ u=-\int_{\infty} \frac{d\varrho}{4\varrho^3-4},\quad \text{wo} \quad r^2=\frac{1}{\varrho}, \] also ist die elliptische Function \(\varrho\) genau eine solche \(p\)-Function, wie sie Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen eingeführt hat, (siehe F. d. M. II. 240). Nachdem Herr Kiepert die Fundamentaleigenschaften dieser Function \(p(u)\) und der mit ihr durch die Gleichung \[ \frac{d^2\text{log} \sigma u }{du_2} = -p(u) \] verbundenen Function \(\sigma u\) noch einmal recapitulirt hat, bestimmt er die Perioden für die vorliegende specielle Function, worin \(g_2\)=0, \(g_3\)=4 ist. Darauf wird das vollständige System derjenigen Werthe aufgestellt, für welche die Function \[ \varphi(u)=\frac{\sigma(mu)}{\sigma^n u} \] unendlich, und für welche sie null wird. Mit Hülfe des von Herrn Weierstrass in seinen Vorlesungen gegebenen Satzes: ``Ist \(\varphi(u)\) eine grade Function, die nur für \(n=0\) unendlich gross wird und zwar unendlich gross von der \((n-1)^{\text{ten}}\) Ordnung, so lässt sich \(\varphi(u)\) als ganze rationale Function von \(p(u)\) darstellen, deren Grad \(\frac{n-1}{2}\) ist,'' wird die Anzahl der Wurzeln der aufzulösenden Gleichung auf \(\frac{n-1}{2}\) reducirt. Durch den Umstand ferner, dass \(\varphi(\varepsilon u)=\varphi(u)\) ist, wo \(\varepsilon\) eine dritte Einheitswurzel, wird \(\varphi(u)\) für \(n=6q+1\) eine ganze rationle Function \(q^{\text{ten}}\) Grades von \(p^3(u)\), die leicht aufzufinden ist. Mit Hülfe der Entwickelungen von \(p(u)\) und \(\sigma(u)\) werden die Coefficienten der Gleichung \(q^{\text{ten}}\) Grades für \(n=7,13,19\) und 31 berechnet.