Zur v. Staudt'schen Construction des regulären Siebenzehnecks. (Q1561198)

Es ist bekannt, dass durch Gauss (in den disquisitiones arithmeticae) seit Euclid auf dem Gebiet der Kreistheilung zum ersten Male ein Fortschritt gemacht wurde, in dem er den Satz bewies, dass, wenn die Theilungszahl \(n\) eine Primzahl und \[ n-1=2^\alpha \cdot 3^\beta \cdot 5^\gamma \cdots \] ist, die Theilung sich auf die Auflösung von \(\alpha\) quadratischen, \(\beta\) cubischen, \(\gamma\) Gleichungen \(5^{\text{ten}}\) Grades reducirt: ist \(n-1=2^\alpha\), so hat man es also blos mit quadratischen Gleichungen, folglich mit Zirkel und Lineal zu thun. Es sind denn auch seit jener Erfindung mehrfache geometrische Constructionen für die einfacheren Fälle gegeben, so bald nach der Erfindung für das reguläre 17-eck von Paucker, Rothe, Erchinger, später von Grunert (Math. Wörterbuch Bd. 5 S. 811) und v. Staudt (Crelle J. XXIV. S. 251), von letzterem ohne Beweis. Herr Schröter hat die Construction Staudt's etwas practischer umgeformt und bewiesen. Um nichts vorauszusetzen, schickt er die trigonometrische Entwickelung, die zu den quadratischen Gleichungen führt, voraus; sie hat im grossen Ganzen einen ähnlichen Verlauf, wie die von Legendre (Elem. der Trigonom. 110) und von Grunert gegebenen; ist \[ \cos h\cdot\frac{2\pi}{17}=C_{h} \] so sind Unbekannte der quadratischen Gleichungen nach und nach Summen von vier, von zwei oder eine der 8 Grössen \(C_{1},\cdots,C_{8}\). Die geometrische Construction, durch welche die Wurzeln der Gleichungen und schliesslich die Projectionen der Theilpunkte auf einen Durchmesser erhalten werden, empfiehlt sich dadurch, dass der zu theilende Kreis der einzige gebrauchte Kreis ist; Halbirungen, wie sie bei Grunert wiederholt nöthig sind, vermieden werden, besonders aber noch dadurch, dass sie der Verallgemeinerung fähig ist, wie dies neuerdings Herr Affolter gezeigt hat; die Operation geschieht auf zwei parallelen Tangenten des Kreises und erinnert an Riemann's Transformation durch reciproke Radien. Zum Schlusse giebt Herr Schröter die natürlich einfachere analoge Construction des regulären Fünfecks.