On a special third order curve and a simple generator of a general third order curve (Q1561217)

Die besondere Curve dritter Ordnung, mit der sich der Verfasser im ersten Theil der Abhandlung beschäftigt, ist die Brennpunktscurve einer Kegelschnittschaar, welche durch vier Tangenten bestimmt ist. Diese lässt sich auffassen als der geometrische Ort des Punktes, für welchen das aus den Tangentenpaaren an die Kegelschnittschaar gebildete Strahlsystem ein hyperbolisch gleichseitiges wird. Indem der Verfasser nunmehr diesen Ort in interessanter Weise synthetisch discutirt, gelangt er zu dem Ergebniss, dass die Brennpunktscurve das Erzeugniss zweier projectivischer, hyperbolisch-gleichseitiger Strahlsysteme ist, welche so liegen, dass in die Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte Theile entsprechender Strahlenpaare hineinfallen. Als Scheitel dieser Strahlsysteme ist ein Brennpunktenpaar eines Kegelschnitts zu wählen, welcher der Schaar angehört. Das Erzeugniss ist eine Curve dritter Ordnung, auf welcher jedes Brennpunktenpaar eines Kegelschnitts als ein Paar conjugirter Punkte aufzufassen ist; eine charakteristische Eigenschaft derselben ist die, dass die in diesen Punkten gezogenen Tangenten denselben Tangentialpunkt haben. Die Curve selbst hat den partikulären Charakter, dass die imaginären Kreispunkte im Unendlichen gleichfalls als conjugirte Punkte der Curve auftreten, so dass ihr eine ähnliche Stellung zu der allgemeinen Curve dritter Ordnung zukommt, wie dem Kreise zum allgemeinen Kegelschnitt. Dieser besondere Charakter ermöglicht eine höchst einfache Construction, die Herr Küpper zuerst angegeben hat. Indem man nämlich in einer Kreisschaar die Durchmesser zieht, welche sich in einem Punkte der Ebene schneiden, beschreiben die Schnittpunkte derselben mit dem Kreise jene Curve, von der der Verfasser handelt. Im zweiten Theile wird die allgemeine Curve dritter Ordnung als Erzeugniss zweier projectivischer Strahlsysteme dargestellt, welche so zu einander liegen, dass der Verbindungstrahl ihrer Mittelpunkte ein Theil entsprechender Strahlenpaare ist. Jedem Strahlpaar (\(x \; \xi\)) des einen Strahlsystems entspricht ein Strahlenpaar (\(y \; \eta\)) des anderen Strahlsystems; diese geben Veranlassung zu zwei Paaren von Schnittpunkten \[ (x,y)\quad\mathrm{und}\quad (\xi,\eta),\qquad(x,\eta)\quad\mathrm{und}\quad(\xi,y). \] Jedes dieser Paare ist als ein Paar conjugirter Punkte der erzeugten Curve aufzufassen. Die Mittelpunkte der Strahlsysteme treten gleichfalls als ein derartiges Punktenpaar auf. Eine charakterische Eigenschaft solcher Punktenpaare ist die, dass die beiden Punkte eines Paars stets denselben Tangentialpunkt haben. Irgend zwei conjugirte Punkte können wieder als Mittelpunkte zweier anderer erzeugender Strahlsysteme aufgefasst werden, deren entsprechende Strahlpaare nach zwei conjugirten Punkten der Curve gehen, und welche so liegen, dass in die Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte Theile entsprechender Strahlenpaar hineinfallen. Daraus erhellt, dass die gegebene Erzeugung der Curve dritter Ordnung eine gewisse Analogie bietet zu der Erzeugung des Kegelschnitts durch zwei projectivische Strahlbüschel, doch mit dem Unterschiede, dass die Mittelpunkte der erzeugenden Strahlsysteme nicht ganz willkürlich auf der Curve angenommen werden dürfen, sondern eben in conjugirten Punkten der Curve. Von diesen Gesichtspunkten ausgehend entwickelt der Verfasser die wichtigsten Eigenschaften der Curve dritter Ordnung und giebt zahlreiche Sätze über den Zusammenhang von Kegelschnittsgebiden mit jener Curve. Was letztere anbetrifft, so muss auf die Arbeit selbst verwiesen werden.