On perpendicular trajectories (Q1561270)

Das Problem, die rechtwinkligen Trajektorien für das Curvensystem \(\mu = f(x,y)\) zu finden, wo \(\mu\) ein alle Werthe von \(-\infty\) bis \(+\infty\) durchlaufender Parameter ist, führt bekanntlich auf die Integration der Differentialgleichung \(\frac{ \partial f}{\partial y}- \frac{\partial f}{ \partial x}\;\frac{dy}{dx}=0.\) Diese Integration ist, wie Euler angegeben, leicht ausführbar, wenn \(f(x,y)\) eine Summe oder ein Produkt einer rationalen Function von \(x\) und einer eben solchen von \(y\) ist. Dem analog entwickelt Herr Kiepert die Differentialgleichung der rechtwinkligen Trajectorien, wenn das Curvensystem in Polarcoordinaten \(\mu = f (r,t)\) gegeben ist, und zeigt, dass diese namentlich integrirbar ist, wenn \(f (r,t)\) eine Summe oder ein Product einer rationalen Function von \(r\) und einer rationalen Function von \(t\) oder \(\sin t\) und \(\cos t\) ist. Endlich wird für den Fall, dass ein Curvensystem die speciellere Gleichung \(\mu = r^n \cdot T\) hat, wo \(T\) eine rationale Function von \(t\) oder \(\sin t\) und \(\cos t\) ist, ein besonderer, durch ein Beispiel erläuterter Satz abgeleitet.