On Epicycoids, Hypocycloids and other curves obtained from these (Q1561335)

Die Steiner'sche Curve vierter Ordnung und dritter Klasse mit drei Spitzen, welche Steiner (Borchardt J. LIII, p. 23) als die Enveloppe der Geraden definirt, von denen jede die drei Fusspunkte der drei Lothe verbindet, die von jedem Punkte eines Kreises auf die Seiten eines einbeschriebenen Dreiecks gefällt sind, war ausser von Seiten selbst namentlich von Herrn Schröter (Ueber die Erzeugnisse krummer projectivischer Gebilde, Borchardt J. LIV. p. 31) und Herrn Eckhardt (Schlömilch Z. XV p. 129, siehe F. d. M. II. p. 520, JFM 02.0520.02) studirt worden. Die vorliegende Arbeit, welche unabhängig von der letztgenannten entstanden ist, geht von einer andern, auch von Herrn Eckhardt benutzten Erzeugungsweise der Steiner'schen Curve aus, welche, durch eine naheliegende Verallgemeinerung, sich sogleich auf alle gemeinen Epicycloiden und Hypocycloiden überträgt, und deren Eigenschaften, bei Benutzung elementarer Sätze und bekannter Betrachtungsweisen, leicht erkennen lässt. Herr Kiepert definirt nämlich die allgemeinere Steiner'sche Curve, von ihm Anfangscurve genannt, als die Enveloppe der Verbindungsgeraden zweier sich auf einem Kreise mit den Geschwindigkeiten \(\varphi\) und \(\psi \) bewegender Punkte \(\mu\) und \(s\), wobei \(\varphi\) und \(\psi\) durch eine gegebene Gleichung von einander abhängig sind. Ist \(\psi = -2 \varphi\), so ergiebt sich die Steiner'sche Curve. Herr Kiepert behandelt den Fall, dass \(\psi = \pm n \cdot \varphi.\) Aus der Anfangscurve entspringen zwei mit ihr in engem Zusammenhang stehende Curven, die Fusspunktscurve, der Ort des Fusspunktes des vom Kreismittelpunkt auf eine erzeugende Sehne gefällten Lothes, und die Polarcurve, der Ort des Poles einer Erzeugenden in Bezug auf den Kreis. Von den Resultaten sollen hier nur folgende hervergehoben werden. Die beiden Punkte in denen jede Erzeugende \(\mu s\) im Verhältniss \(1:n\) getheilt wird, sind der auf ihr liegende Berührungspunkt und der Schnittpunkt mit der zugehörigen Tangente der Polarcurve. Es giebt auf dem Fundamentalkreise \(n \mp 1\) Punkte, wo ein Punkt \(\mu\) mit dem ihm zugehörigen \(s\) zusammenfällt. In diesen Punkten berühren sich Kreis, Aufangscurve, Fusspunktscurve und Polarcurve. Sie theilen ferner jede der Curven in \(n \mp 1\) gleiche Theile. Diejenigen Durchmesser des Kreises, welche von den \(n\mp 1\) Halbirungspunkten der durch die eben genannten Punkte erzeugten Bogen ausgehen, sind Rückkehrtangenten der Anfangscurve. Die ihnen zugehörigen Spitzen liegen auf einem mit dem Funkamentalkreise concentrischen Kreise mit dem Radius \(\frac{ n \mp 1}{ n \pm 1}\, r\), woraus sich \(n \mp 1\) unendlich ferne Punkte der Polarcurve ergeben, deren Asymptoten ein reguläres \(( n \mp 1)\)-Seit bilden, dessen einbeschriebener Kreis concentrisch mit dem Fundamentalkreise ist, und den Radius \(\frac{ n \pm 1}{ n \mp 1}\, r\) hat. Rollt ein den ursprünglichen Kreis beständig berührender Kreis mit dem Radius \(\frac{ 1}{ n \pm 1}\, r\) auf jenem ersterwähnten concentrischen Kreise mit dem Radius \(\frac{ n \mp 1}{ n \pm 1}\, r\), so wird die Anfangscurve von demjenigen Punkte des rollenden Kreises durchlaufen, welcher bei dieser Bewegung mit den Punkten des Fundamentalkreises zusammen fällt, wo, wie vorher erwähnt, Punkte \(\mu\) und \(s\) vereinigt sind. Bei \( \psi = + n \cdot \varphi\) geschieht die Berührung der Kreise von aussen, bei \(\psi = - n \cdot \varphi\) von innen. Daraus folgt, dass jede Anfangscurve eine gemeine Epicycloide oder Hypocycloide ist. Es werden dann die Gleichungen der betrachteten Curven abgeleitet, wobei sich ergiebt, dass die Fusspunktscurve eine verlängerte Epicycloide oder Hypocycloide ist. Es folgt dann die Ableitung von Eigenschaften der Curven, welche mit der Definition einer Gruppe von \(n\) Erzeugenden in Zusammenhang stehen, wobei unter Gruppe diejenigen \(n\) Erzeugenden verstanden werden, welche \(n\) den Kreis in gleiche Theile theilende Punkte \(\mu\) mit dem ihnen gemeinsamen Punkt \(s\) verbinden. Weiterhin wird die Evolute und Evolvente der Anfangscurve betrachtet. Dadurch wird die Berechnung der Länge der Anfangscurve \(= \frac{ 8n }{ n \pm 1 }\,r\) ermöglicht. Ihr Flächeninhalt ergiebt sich \(= \frac{ n}{ n\pm 1}\, r^2 \pi\). Die Berechnung der Längen der anderen Curven führt auf elliptische Integrale zweiter Gattung. Ihre Flächeninhalte lassen sich dagegen einfacher ausdrücken. Am Schlusse giebt Herr Kiepert an, nach welchen Richtungen hin sich noch weitere Eigenschaften seiner Curven auffinden lassen. Wenn statt des erzeugenden Kreises eine Ellipse genommen wird, so haben die durch Projection nicht zerstörbaren Eigenschaften natürlich ihre Analoga.