On the theory of lines of curvature. (Q1561356)

Sind \[ Ax + By + Cz=D; \quad A'x + B'y + C'z =D' \] die Berührungsebenen zweier orthogonalen Systeme abwickelbarer Flächen in ihrer Schnittlinie, und \(u\), \(v\) deren Parameter, so sind \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) Lösungen der Gleichung \[ \frac{ \partial^2 Z}{ \partial u \partial v} +\lambda\, \frac{ \partial Z}{ \partial u} +\gamma\, \frac{ \partial Z}{ \partial v} =\vartheta Z \] wo \(\lambda\), \(\gamma\), \(\vartheta\) Functionen von \(u\), \(v\) bezeichnen. Der Verfasser lässt nun ein System von Flächennormalen (\(S\)), die nach den von ihnen gebildeten Abwickelbaren rangirt sind, auf einer Fläche \(2^{\text{ten}}\) Grades \((A)\) reflectiren, betrachtet den Fall, wo die 2 Netze, welche die beiderseitigen Abwickelbaren auf \((A)\) ausschneiden, conjugirt sind, und gelangt zu folgenden Sätzen: Hat ein System von Geraden die Eigenschaft von \((S)\) in Bezug auf eine Familie homofocaler Flächen \(2^{\text{ten}}\) Grades, so ist jede der davon gebildeten Abwickelbaren einer dieser homofocalen Flächen umschrieben. Der Pol der Normalebene einer unter den Abwickelbaren längs ihrer Erzeugenden in Bezug auf jene eingeschriebene Fläche liegt auf der Tangente der Berügrungscurve dieser Abwickelbaren mit der Abwickelbaren des Systemes \((S)\). Als interessantestes Beispiel bezeichnet er das Normalensystem einer anallagmatischen Fläche \(4^{\text{ter}}\) Ordnung.