De l'équilibre et du mouvement des corps pesants en ayant égard aux variations de direction et d'intensité de la pesanteur. (Q1561537)

Die Theorie des Gleichgewichtes und der Bewegung schwerer Körper wird in der Regel unter der Voraussetzung entwickelt, dass die Richtung und Intensität der Schwere unveränderlich sind. Dies ist nun aber streng genommen nicht richtig, da weder die Richtung der Schwere überall parallel ist, noch auch der Einfluss, den Sonne und Mond und die Bewegung der Erde ausüben, für jeden Punkt der Erde derselbe ist. Der Verfasser der vorliegenden Arbeit will nun die Theorie unter Berücksichtigung aller dieser Umstände entwickeln. Er betrachtet dabei die Erde als ein Rotationsellipsoid, das aus Schichten mit constanter Dichtigkeit zusammengesetzt ist. Bezeichnet man nun mit \(\mu\) die Masse der Erde, mit \(u\) die Entfernung des Elementes \(d\mu\) von einem äusseren Punkte \(M\), mit \(f\) die Anziehung der Masseneinheit auf die Masseneinheit in der Entfernung \(s\), so sind die Componenten der Anziehung auf den Punkt \(M\) die partiellen Derivirten des Integrals \[ T= \int \frac{ fd\mu}{ u}. \] in Beziehung auf die Coordinaten von M. Für die oben gemachte Voraussetzung ist dies \(T\) für alle Punkte auf demselben Parallelkreis dasselbe. Der Verfasser entwickelt nun zuvörderst die Componenten der Erdanziehung, und bestimmt dann die Componenten der Kräfte, die aus den Wirkungen von Sonne und Mond entstehen. Daraus ergeben sich dann die Componenten der in der That wirksamen Kraft: \[ \begin{aligned} & \frac{d^2 x}{dt^2} +2 \omega \sin \lambda\, \frac{ dy}{dt} +\omega^2 \sin \lambda \cdot \alpha -\omega^2 \sin^2 \lambda \cdot x -\omega \sin \lambda \cdot \cos \lambda \cdot z,\\ & \frac{d^2 y}{ dt^2} -2 \omega \sin \lambda\, \frac{ dx}{dt} -2 \omega \cos \lambda \frac{ dz}{dt} -\omega^2 y,\\ & \frac{ d^2 z}{dt^2} +2 \omega \cos \lambda\, \frac{ dz}{dt} +2 \omega^2 \cos \lambda \cdot \alpha -\omega^2 \sin \lambda \cos \lambda \cdot x -\omega^2 \cos^2 \lambda \cdot z\end{aligned} \] wo \(\omega\) die Rotationsgeschwindigkeit der Erde bezeichnet, \(\lambda\) den Winkel, den die, durch den Punkt \(O\) (nahe der Oberfläche) gelegte Coordinatenaxe \(Oz\) mit der durch den Mittelpunkt der Erde gehenden \(C \zeta\) macht, \(\alpha\) endlich das \(\xi\) des Punkts \(O\) ist. Nachdem der Verfasser sodann die Bewegungsgleichungen eines schweren Körpers aufgestellt hat, bestimmt er den Winkel, den ein Loth mit der durch den Aufhängepunkt gelegten Verticalen bildet. Beide liegen in dem Meridian des Aufhängepunkte. Der Winkel ist sehr klein, für Paris z. B. bei einer Länge von 100 m. 0,017 Secunden. Derselbe würde sonst ein Mittel geben, um durch eine Beobachtung an einem Orte die Abplattung der Erde zu bestimmen. Es wird sodann die Form eines schweren homogenen Fadens, der an einem Endpunkte aufgehängt ist, bestimmt. Der Verfasser kommt hier zu demselben Resultate, das auch Herr Bertram in der im zweiten Bande der F. d. M. p. 714 JFM 02.0714.03 besprochenen Arbeit gefunden, dass nämlich der Faden die Form eines Parabelbogens (unabhängig von der Länge des Fadens) annehme, dessen Durchmesser parallel dem Meridian des Aufhängepunktes ist. Die convexe Seite des Bogens ist gegen den Aequator gerichtet, und der Parameter \(\frac{ 4g}{E}\). Das Minimum desselben tritt bei \(45^0\) ein, während er im Pol und am Aequator unendlich wird, sodass der Bogen dann in eine Gerade übergeht. Bei der Betrachtung des Falles im leeren Raume gelangt der Verfasser zu den bereits bekannten Abweichungen. Den Schluss der Abhandlung bildet die Betrachtung der Bewegung eines festen Körpers um eine durch seinen Schwerpunkt gehende und mit der mittleren Verticalen dieses Punktes zusammenfallende Gerade.